§ 8. Четырехвекторы и четырехтензоры. Ковариантность уравнений физики

Закон преобразования (11.70) для координат определяет трансформационные свойства векторов в четырехмерном пространстве—времени (11.68). Любая совокупность четырех величин , которые преобразуются как называется четырехвектором (-вектором). При преобразовании Лоренца (а) величина преобразуется в по формуле

    (11.81)

Если величина не изменяется при преобразованиях Лоренца, то она называется лоренц-скаляром, или лоренц-инвариантом. Четыре величины, получающиеся при дифференцировании лоренц-скаляра

по координатам образуют -вектор. Действительно, рассмотрим производные

Согласно (11.72),

    (11.83)

следовательно,

т. е. совокупность величин преобразуется как -вектор. Аналогичным образом легко показать, что -дивергенция -вектора является лоренц-инвариантом:

Полагая в этом соотношении получаем, что четырехмерный оператор Лапласа является лоренц-инвариантным:

Если оператор действует не на скаляр, а на какие-либо другие функции, скажем на -вектор то получающиеся величины сохраняют трансформационные свойства тех функций, на которые действует этот оператор. Легко проверить, что скалярное произведение двух -векторов и является инвариантом

    (11.87)

Четырехвектор является тензором первого ранга в четырехмерном пространстве. Тензоры высшего ранга определяются аналогичным образом. Тензором второго ранга Т является совокупность шестнадцати величин, которые преобразуются по закону

    (11.88)

Тензоры высших рангов определяются аналогичными преобразованиями с большим числом мнржителей Тензором ранга

является совокупность величин, закон преобразования которых является обобщением закона (11.88) и содержит произведение коэффициентов а Подобно тому как скалярное произведение двух -векторов имеет ранг, на единицу меньший ранга исходных величин, тензоры более низкого ранга можно получать путем умножения тензоров более высокого ранга. Например, скалярное произведение тензора второго ранга и -вектора дает -вектор:

    (11.89)

Это соотношение и аналогичные ему доказываются с помощью условий ортогональности (11.71) и (11.73).

Элемент объема четырехмерного пространства — времени (11.68) определяется как действительная величина

    (11.90)

где Закон преобразования элемента объема имеет вид

    (11.91)

Поскольку якобиан в (11.91) совпадает с детерминантом матрицы коэффициентов а (11.74), элемент -объема является лоренц-инвариантной величиной.

Первый постулат Эйнштейна заключается в том, что законы физики должны иметь одинаковую форму в различных лоренцовых координатных системах. Это означает, что уравнения, описывающие физические законы, должны иметь ковариантную форму. Под ковариантностью мы понимаем то, что уравнения могут быть написаны таким образом, что обе их части будут иметь одинаковые трансформационные свойства при преобразованиях Лоренца. Следовательно, законы физики могут связывать -векторы, или лоренц-скаляры, или -тензоры одинакового ранга. Трансформационные свойства должны быть одинаковыми для того, чтобы соотношение, справедливое в одной системе координат, оставалось справедливым и при переходе к другой координатной системе. Рассмотрим, например, два неоднородных уравнения Максвелла. В следующем параграфе будет показано, что они могут быть записаны в релятивистской форме

    (11.92)

где соответственно -вектор тока и -тензор электромагнитного поля. Так как -дивергенция -тензора является -вектором,

то уравнения (11.92) представляют собой соотношение между двумя -векторами. Следует ожидать, что в другой координатной системе К этот же физический закон имеет такую же форму:

    (11.93)

С помощью преобразования (11.81) можно выразить соотношение (11.93) через величины в исходной координатной системе:

    (11.94)

Это соотношение показывает, что если закон (11.92) выполняется в исходной системе отсчета, то он выполняется и во всех лоренцовых системах. Если бы обе части (11.92) не имели одинаковых трансформационных свойств, то закон не обладал бы таким свойством.

В заключение нашего формального рассмотрения введем некоторые упрощающие обозначения.

1. Греческие индексы считаются пробегающими значения от 1 до 4.

2. Латинские индексы обозначают пространственные переменные и пробегают значения от 1 до 3.

3. -векторы обозначаются через их составляющие соответствуют пространственному вектору А, а Иногда это соответствие будет записываться в виде

    (11-95)

Индекс у 4-вектора может быть иногда опущен, так что например, обозначает

4. Скалярное произведение -векторов обозначается как

    (11.96)

где АВ — обычное трехмерное скалярное произведение.

5. Введем еще обозначения суммирования. Будем считать, что по повторяющимся индексам подразумевается суммирование, хотя знак суммы не написан. Если повторяются латинские индексы, то суммирование производится от 1 до 3, если же греческие — то от 1 до 4. При этом, например, (11.85) записывается в виде

а (11.89) принимает компактную форму