§ 7. Уравнения Лапласа и Пуассона
В § 4 и 5 было показано, что электростатическое поле описывается двумя дифференциальными уравнениями:
Последнее уравнение эквивалентно утверждению о том, что Е является градиентом некоторой скалярной функции — скалярного потенциала Ф:
Уравнения (1.13) и (1.16) можно объединить в одно уравнение в частных производных для единственной функции 
Это так называемое уравнение Пуассона. В тех областях пространства, где плотность заряда равна нулю, скалярный потенциал
удовлетворяет уравнению Лапласа:
Выше мы уже получили выражение (1.17) для скалярного потенциала
Чтобы убедиться в том, что это выражение действительно удовлетворяет уравнению Пуассона (1.28), подействуем оператором Лапласа 
на обе части равенства (1.17):
Чтобы рассчитать 
перенесем начало координат в точку 
(что вполне допустимо); тогда это выражение сведется к 
, где 
— абсолютная величина 
Непосредственный расчет показывает, что 
при 
Однако при 
это выражение остается неопределенным. Поэтому необходимо прибегнуть к предельному переходу. Поскольку мы можем предполагать, что 
ведет себя подобно 
-функции, проинтегрируем это выражение по небольшому объему У, содержащему начало координат. Применяя теорему о дивергенции, мы можем преобразовать этот интеграл к поверхностному
Таким образом, 
при 
объемный интеграл от 
равен 
. Следовательно, мы можем положить, что 
или в более общем случае
Установив таким образом значение лапласиана от 
мы можем закончить доказательство того, что (1.17) удовлетворяет уравнению Пуассона. Действительно, согласно (1.30),
что и требовалось доказать.
