§ 3. Макроскопическая электростатика. Эффекты совокупного действия атомов

Все многообразие электростатических явлений можно описать уравнениями

где «микроскопическое» электростатическое поле обусловлено полной «микроскопической» плотностью заряда q. При небольшом числе идеализированных точечных зарядов, расположенных вблизи математически определенных граничных поверхностей, вполне достаточно уравнений (4.20). Однако в очень многих физических задачах полностью невозможно задать распределения отдельных индивидуальных зарядов. Любая задача о полях в присутствии материальной среды относится к указанному классу. В макроскопических объемах вещества содержится порядка зарядов, причем каждый из них в большей или меньшей степени подвижен вследствие теплового возбуждения или нулевых колебаний.

Не касаясь пока вопроса о правомерности применения электростатики для описания явлений, в которых заряды находятся в непрерывном движении, обратимся к задаче исследования макроскопических проблем, когда число атомов или молекул велико. Очевидно, интегральное представление электрического поля в виде

мало пригодно, так как: а) оно содержит плотность распределения зарядов для определения которой нужно знать точное положение огромного числа зарядов, и б) это выражение весьма сильно флуктуирует при перемещении точки наблюдения даже на очень малые расстояния (порядка размеров атома). Но, к счастью, в макроскопической электростатике нам не нужна такая подробная информация, которая содержится в (4.21). Вполне достаточно знать среднюю напряженность электрического поля по областям с размерами порядка (т. е. с линейными размерами порядка ) или даже больше. Так как объем атома по порядку величины равен , то в указанном макроскопическом объеме содержится порядка или более атомов. Это означает, что микроскопические флуктуации полностью усерднятся. Таким образом, следует иметь дело со средними значениями Усреднение проводится по макроскопически малому объему , содержащему, однако, очень много атомов или молекул:

Усреднение мы обозначаем ломаными скобками; переменная изменяется в пределах объема

Применение усреднения позволяет ответить на вопрос о законности рассмотрения статического решения при наличии теплового движения в материальной среде. В любой момент времени в объеме находится очень большое число зарядов во всех возможных: состояниях движения. Усреднение по этим состояниям в рассматриваемый момент даст такой же результат, как и усреднение в какой-либо более поздний момент времени. Следовательно, по отношению к усредненным величинам вполне законно говорить о статических полях и зарядах Более того, при усреднении можно считать распределение атомных зарядов фиксированным в пространстве (т. е. не меняющимся во времени) и совпадающим с реальным распределением в какой-то произвольный момент времени. Поэтому при вычислениях можно рассматривать задачу как электростатическую даже на микроскопическом уровне.

В макроскопической электростатике удобно разбить усредненную плотность заряда на две части, одна из которых — средний заряд атомных или молекулярных ионов, т. е. избыток

свободных зарядов, расположенных внутри или на поверхности макроскопического тела, а вторая — наведенный, или связанный заряд. В отсутствие внешних полей электрические моменты атомов или молекул могут быть как равными, так и не равными нулю, но даже если моменты отличны от нуля, они ориентированы совершенно хаотически. При наличии поля атомы поляризуются (или их постоянные моменты стремятся ориентироваться по полю) и появляется средний дипольный момент.

Фиг. 4.1. К расчету потенциала, создаваемого в точке наблюдения Р с радиусом-вектором молекулой с центром масс в точке Локальная координата отсчитывается от центра масс.

Эти дипольные моменты могут вносить вклад в усредненную плотность заряда Поскольку наводимые дипольные моменты обычно пропорциональны приложенному полю, то, как мы увидим ниже, макроскопический аналог уравнений (4.20) должен содержать лишь одну постоянную, характеризующую среднюю поляризуемость исследуемой среды.

Чтобы понять, как появляется зависимость от наведенных дипольных моментов, рассмотрим сначала микроскопическое поле в точке наблюдения создаваемое одной молекулой с центром масс в точке (фиг. 4.1). Пусть плотность заряда молекулы равна где отсчитывается от центра масс молекулы. Следует заметить, что в общем случае зависит от положения молекулы так как искажение распределения заряда в молекуле определяется локальным полем. Микроскопическое электрическое поле молекулы с номером имеет вид

Для точек наблюдения, лежащих вне молекулы, можно использовать разложение по мультиполям в окрестности центра масс

молекулы. При этом, согласно (4.10), получим

где

— соответственно полный заряд и дипольный момент молекулы. В разложении (4.10) можно было бы удержать и квадрупольный момент, но так как макроскопические изменения поля происходят на расстояниях, больших по сравнению с молекулярными размерами, относительный вклад этого момента в среднее поле пренебрежимо мал по сравнению с дипольным членом. Величины являются функциями положения молекулы.

Микроскопическое поле всех молекул определяется суммированием по

Для получения макроскопического поля следует произвести усреднение согласно (4.22). Чтобы облегчить процедуру усреднения, заменим дискретную сумму по молекулам интегралом, введя распределение плотности заряда и поляризации:

Выражение (4.26) при этом можно формально переписать в виде

Проиллюстрируем процесс усреднения на первом слагаемом в (4.28). Усредненное значение, согласно (4.22), равно

где учтено, что порядок операций дифференцирования и усреднения может быть изменен. Заменим переменную интегрирования

Сопоставление выражений (4.29) и (4.30) показывает очевидную» эквивалентность усреднения путем перемещения точки наблюдения в объеме с центром в точке х и усреднения путем перемещения точки интегрирования в объеме с центром в Как ясно из определения (4.27), интеграл от рмол по объему в окрестности сводится к сумме зарядов всех молекул в объеме

Пусть макроскопическая плотность распределения молекул (число молекул в единице объема) в точке равна -средний заряд молекулы в объеме в точке тогда

В результате выражение (4.30) принимает вид

Совершенно аналогично можно исследовать второе слагаемое в (4.28). Пользуясь тем же определением усреднения, получаем

Усредненное поле (4.28) определяется, таким образом, формулой

Для получения макроскопического эквивалента первого из уравнений (4.20) вычислим дивергенцию от обеих частей выражения (4.33).

Учитывая равенство

находим

Используя свойства -функции (см. гл. 1, § 2), получаем

Такой вид принимает первое из уравнений (4.20). Плотность заряда входящая в (4.20), заменена здесь двумя слагаемыми: первое — средний заряд молекул в единице объема, второе — связанный заряд в единице объема. Появление дивергенции плотности поляризации представляется весьма естественным, если вспомнить, как возникает эта часть плотности заряда.

Рассмотрим малый объем в среде. Часть полного заряда внутри объема обусловлена свободными зарядами молекул. Кроме этого, определенный вклад в полный заряд может быть обусловлен поляризацией молекулы во внешнем поле.

Фиг. 4.2. К объяснению возникновения связанного заряда. Из-за пространственного изменения поляризации может оказаться, что молекулярный заряд, вышедший из данного малого объема, больше заряда, вошедшего в объем.

Так, например, для молекул, у которых область, занятая зарядом, раньше находилась полностью внутри объема, часть заряда может выйти за пределы рассматриваемого объема. Если поляризация однородна в пределах нашего малого объема, то за счет поляризации в рассматриваемый объем через его поверхность вводится такой же заряд, как и выводится из него, и суммарное изменение заряда за счет поляризации равно нулю. Если же поляризация объема неоднородна, то может произойти увеличение или уменьшение заряда в объеме, как схематически показано на фиг. 4.2. Такова физическая причина возникновения связанного заряда.

В уравнении (4.34) можно объединить члены с дивергенцией и переписать его в виде

Обычно принято вводить следующие макроскопические величины: напряженность электрического поля Е, поляризацию Р (электрический

дипольный момент единицы объема), плотность заряда q и электрическую индукцию D, определяемые соотношениями

Если в среде имеется несколько различных видов атомов или молекул и, кроме того, могут быть избыточные свободные заряды, то приведенные определения можно очевидным образом обобщить:

где — число молекул i-го типа в единице объема, — их средний заряд, — их средний дипольный момент, — плотность избыточного (свободного) заряда. Обычно молекулы электронейтральны и полная плотность заряда совпадает с плотностью свободного заряда.

Используя определения (4.36) и (4.37), макроскопическое уравнение для дивергенции поля можно записать в виде

Макроскопический эквивалент второго уравнения из (4.20) можно получить, взяв ротор от обеих частей равенства (4.33). Это, очевидно, дает

Таким образом, в макроскопической электростатике диэлектрических сред микроскопические уравнения (4.20) заменяются уравнениями (4.38) и (4.39).

Выражение (4.33) для напряженности электрического поля записывается в макроскопических переменных следующим образом:

Второе слагаемое, описывающее поле диполя, уже было исследовано в гл. 1, § 6.