ЗАДАЧИ

7.1. Почти монохроматический плоский одномерный волновой пакет имеет начальную форму и где — огибающая. Для приведенных ниже функций f(x) найти спектр волновых чисел пакета построить схематически определить в ябном виде среднеквадратичные значения и [выразить их через интенсивности и проверить неравенство (7.28):

7.2. Плоская волна падает нормально на плоский слой, изображенный на фиг. 7.13. Все три среды немагнитны, их показатели преломления равны соответственно Толщина среднего слоя

Фиг. 7.13.

а) Рассчитать коэффициенты прохождения и отражения (отношения проходящего и отраженного потоков энергии к падающему потоку энергии) и построить их зависимость от частоты для

б) Пусть среда является частью оптической системы (например, линзой); среда воздух Необходимо сделать такое оптическое покрытие (среда ), чтобы не было отраженных волн с частотой Какая при этом требуется толщина d и показатель преломления

7.3. Два плоских полубесконечных слоя из однородного изотропного немагнитного непоглощающего диэлектрика с показателем преломления параллельны друг другу и разделены воздушным зазором имеющим ширину d. Плоская электромагнитная волна с частотой со падает на зазор из одного слоя под углом падения i. Для линейно поляризованных волн с поляризацией как параллельной, так и перпендикулярной плоскости падения

а) рассчитать отношение мощности, проходящей во второй слой, к падающей мощности и отношение отраженной мощности к падающей,

б) для угла i, превышающего критический угол полного внутреннего отражения, построить зависимость отношения проходящей мощности к падающей от отношения ширины зазора d к длине волны в воздухе.

7.4. Плоскополяризованная электромагнитная волна с частотой со падает из свободного пространства нормально на плоскую поверхность немагнитной среды, имеющей проводимость а и диэлектрическую проницаемость е.

а) Рассчитать амплитуду и фазу отраженной волны для произвольных а и 8.

б) Рассмотреть предельные случаи очень плохой и очень хорошей проводимости и показать, что для хорошего проводника коэффициент отражения (отношение отраженной мощности к падающей) приближенно равен

где — толщина скин-слоя.

7.5. Плоскополяризованная электромагнитная волна нормально падает на плоский однородный слой хорошего проводника имеющий толщину t. Предполагая, что как во внешнем пространстве, так и в проводнике рассмотреть отражение и прохождение падающей волны.

а) Показать, что амплитуды отраженной и проходящей волн с точностью до членов первого порядка по описываются выражениями

где толщина скин-слоя.

б) Убедиться, что для нулево и бесконечной толщин слоя получаются правильные предельные результаты.

в) Показать, что, за исключением случая очень малых толщин, коэффициент прохождения равен

Построить зависимость от для Уточнить понятие «очень малой толщины».

7.6. Плоские волны распространяются в однородном немагнитном анизотропном диэлектрике. В общем случае диэлектрик характеризуется тензором но если выбрать оси координат вдоль главных осей тензора, то составляющие вектора смещения связаны с соответствующими составляющими электрического поля соотношениями , где — собственные значения матрицы

а) Показать, что для плоских волн с частотой со и волновым вектором к должно выполняться уравнение

б) Показать, что при заданном волновом векторе могут распространяться две различные волны с разными фазовыми скоростями, удовлетворяющими уравнению Френеля:

где — так называемые главные скорости, проекции единичного вектора по главным осям тензора.

в) Показать, что если — векторы смещения для двух вышеупомянутых волн, то

7.7. Однородный изотропный немагнитный диэлектрик характеризуется показателем преломления который предполагается, вообще говоря, комплексным (для описания процессов поглощения).

а) Показать, что общее решение для плоской одномерной волны может быть представлено в виде

где и — любая составляющая Е или В.

б) Показать, что если функция и действительна, то .

в) Показать, что если граничные значения функции и и ее производной при то коэффициенты имеют вид

7.8. Очень длинный импульс, представляющий собой плоскую волну частотой с крутым передним фронтом, нормально падает в момент на полубесконечный диэлектрик с показателем преломления , занимающий полупространство На входе в диэлектрик граничные значения тангенциальной составляющей электрического поля и ее нормальной производной равны

где — ступенчатая функция: при Показатель спадания — положительная бесконечно малая постоянная величина.

а) Используя решение, полученное в задаче 7.7, представить поле и в диэлектрике в виде интеграла по частотам с явными выражениями для коэффициентов .

б) Доказать, что достаточным условием выполнения принципа причинности (согласно которому никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света) в этой задаче является требование, что показатель преломления должен быть аналитической функцией комплексного переменного со, не имеющей нулей и полюсов в верхней полуплоскости, и стремится к единице при

в) Обобщить результаты п. «б» на случай произвольного направления падения волнового импульса.

7.9. а) Убедиться, что если показатель преломления является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексного переменного и стремится к единице при больших то его действительная и мнимая части при вещественных частотах со связаны дисперсионным соотношением

где Р — главное значение интеграла. Написать второе дисперсионное соотношение, выражающее мнимую часть в виде интеграла от действительной части.

б) Исходя из дисперсионного соотношения, показать, что в интервале частот, где есть резонансное поглощение, обязательно имеет место аномальная дисперсия.

в) Элементарная классическая модель эффекта преломления основана на представлении о совокупности затухающих электронных осцилляторов и приводит к следующему выражению для показателя преломления:

где — резонансная частота для типа осцилляторов, — их константа затухания, число таких осцилляторов на атом. Проверить, что такой показатель преломления удовлетворяет дисперсионному соотношению, приведенному в п. «а».