§ 9. Ковариантность уравнений электродинамики

Инвариантность уравнений электродинамики при преобразованиях Лоренца была установлена Лоренцом и Пуанкаре еще до того, как Эйнштейн сформулировал специальную теорию относительности. В данном параграфе мы рассмотрим это свойство ковариантности и следствия из него. При этом возможны две точки зрения. Можно положить в основу некоторый экспериментально проверенный факт, например инвариантность электрического заряда, и попытаться отсюда вывести ковариантность уравнений. Можно, наоборот, потребовать ковариантности формы уравнений и показать, что трансформационные свойства различных физических величин, например напряженности полей, зарядов и токов, могут быть выбраны таким образом, чтобы уравнения действительно были ковариантны. Хотя первый путь в некотором смысле более логичен, мы выберем второй. Уравнения классической электродинамики можно считать точно установленными, и их можно представить в ковариантной форме. Рассмотрим для простоты микроскопические уравнения, куда величины D и Н не входят.

Начнем с уравнения непрерывности для заряда и плотности тока:

    (11.97)

Ему можно придать ковариантную форму, вводя -вектор заряда-тока J, определяемый следующим образом:

    (11.98)

При этом (11.97) принимает явно ковариантный вид

    (11.99)

То обстоятельство, что действительно является -вектором, вытекает из экспериментально установленной инвариантности электрического заряда. Инвариантность заряда подразумевает лоренц-инвариантность произведения Поскольку величина также является лоренц-инвариантом, то отсюда следует, что q преобразуется как четвертая составляющая -вектора. Трансформационные свойства J как пространственного вектора очевидны.

Волновые уравнения для векторного потенциала А и скалярного потенциала Ф имеют вид

где связаны условием Лоренца

    (11.101)

Легко видеть, что дифференциальный оператор в левых частях волновых уравнений является лоренц-инвариантным четырехмерным лапласианом (11.86). Правые части этих уравнений составляют -вектор. Из требования ковариантности вытекает, что векторный и скалярный потенциалы являются пространственной и временной частями -вектора-потенциала

    (11.102)

Следовательно, волновые уравнения записываются в виде

    (11.103)

а условие Лоренца — в виде равенства -дивергенции нулю:

    (11.104)

Теперь мы можем перейти к рассмотрению полей Е и В, которые определяются через потенциалы соотношениями

    (11.105)

Выписывая явно, например, первые составляющие Е и В

    (11.106)

мы видим, что электрическое и магнитное поля являются элементами антисимметричного тензора второго ранга который называется тензором электромагнитного поля:

Явное выражение для -тензора поля имеет вид

Чтобы закончить установление ковариантности уравнений электродинамики, остается рассмотреть еще уравнения Максвелла. Два неоднородных уравнения имеют вид

    (11.109)

Так как правые части являются составляющими -вектора, то левые части также должны быть составляющими -вектора. Учитывая определение (11.108) для тензора поля, легко убедиться, что левые части (11.109) представляют собой дивергенцию тензора электромагнитного поля. Таким образом, уравнения (11.109) принимают ковариантную форму

Аналогично можно показать, что два однородных уравнения Максвелла

    (11.111)

сводятся к четырем уравнениям

где — произвольная тройка чисел 1, 2, 3, 4. Каждый член в (11.112) преобразуется как -тензор третьего ранга, так что это уравнение имеет нужную ковариантную форму.