ЗАДАЧИ

2.1. Точечный заряд q помещен на расстоянии d от бесконечного плоского проводника, имеющего нулевой потенциал. С помощью метода изображений найти:

а) поверхностную плотность зарядов (построить график);

б) силу взаимодействия заряда с плоскостью (использовать закон Кулона для силы взаимодействия заряда с его изображением);

в) полную силу, действующую на плоскость (определить ее интегрированием величины по всей плоскости);

г) работу, которую необходимо совершить, чтобы удалить заряд q в бесконечность;

д) потенциальную энергию взаимодействия заряда q с его изображением (сравнить результат с п. «г» и проанализировать);

е) выразить результат п. «г» в электрон-вольтах для случая, когда электрон находился первоначально на расстоянии 1 А от поверхности.

2.2. С помощью метода изображений рассмотреть задачу о точечном заряде q, находящемся внутри полой заземленной проводящей сферы с внутренним радиусом а. Найти:

а) потенциал внутри сферы;

б) поверхностную плотность индуцированных зарядов;

в) величину и направление силы, действующей на заряд.

Меняется ли как-либо решение в случае, когда задан потенциал сферы V? Когда задан ее полный заряд

2.3. Две бесконечные заземленные проводящие плоскости расположены при Точечный заряд q расположен между плоскостями в точке , причем —

а) Найти расположение и величину всех зарядов-изображений, необходимых для того, чтобы удовлетворялись граничные условия для потенциала, и написать функцию Грина

б) Для заряда q, расположенного в точке , найти распределение поверхностной плотности зарядов, индуцируемых на каждой плоскости, и показать, что сумма зарядов, индуцируемых на обеих плоскостях, равна —

2.4. Рассмотреть задачу об определении потенциала в полупространстве по условиям Дирихле в плоскости (и по условию в бесконечности).

а) Написать соответствующую функцию Грина

б) Найти интегральное выражение для потенциала в произвольной точке Р с цилиндрическими координатами если в плоскости потенциал Ф равен константе V внутри окружности радиусом а с центром в начале координат и нулю вне этой окружности.

в) Показать, что на оси окружности потенциал равен

г) Показать, что на больших расстояниях потенциал может быть разложен в степенной ряд по и что первые члены ряда равны

Показать, что результаты п. согласуются друг с другом в общей области их применимости.

2.5. Изолированная сферическая проводящая оболочка радиусом а помещена в однородное электрическое поле Пусть оболочка разрезана на две полусферы плоскостью, перпендикулярной электрическому полю. Найти силу, необходимую для предотвращения разделения полусфер в случае:

а) когда сфера незаряжена;

б) когда полный заряд сферы равен

2.6. Большой плоскопараллельный конденсатор состоит из двух плоских проводящих пластин, на внутренней поверхности одной из которых имеется маленький полусферический выступ. Проводнике выступом радиусом а находится под нулевым потенциалом, потенциал второго проводника таков, что вдали от выступа электрическое поле между пластинами равно

а) Найти плотность поверхностного заряда в произвольной точке на плоскости и на выступе и построить график изменения плотности в зависимости от расстояния (или от угла).

б) Показать, что полная величина заряда на выступе равна

в) Показать, что если вместо другой проводящей пластины поместить заряд q как раз над выступом на расстоянии d от его центра, то заряд, индуцируемый на выступе, будет равен

2.7. Заряженная нить с линейной плотностью заряда помещена параллельно оси проводящего цилиндра радиусом b на расстоянии от оси. Считая потенциал цилиндра нулевым, найти методом изображений:

а) величину и положение зарядов-изображений;

б) потенциал в произвольной точке (в полярных координатах; прямую, соединяющую ось цилиндра с заряженной нитью, принять за ось ), в том числе его асимптотическое представление вдали от цилиндра;

в) плотность индуцированного поверхностного заряда (построить график плотности, отнесенной к для ;

г) силу, действующую на заряженную нить.

2.8. а) Найти функцию Грина для двумерной электростатической задачи, если задан потенциал на поверхности цилиндра радиусом b, и показать, что решение внутри цилиндра дается интегралом Пуассона

б) Длинная проводящая цилиндрическая оболочка радиусом b разделена узким продольным зазором на две половины, находящиеся соответственно под потенциалом Показать, что потенциал внутри цилиндра равен

где отсчитывается от плоскости, перпендикулярной плоскости зазора.

в) Рассчитать распределение поверхностной плотности заряда на обеих половинах цилиндра.

г) Какие изменения следует внести в решение, приведенное в п. «а», если требуется найти потенциал в области пространства, внешней по отношению к цилиндру?

2.9. а) Изолированная проводящая сфера находится под потенциалом V. Написать (тривиальное) выражение для потенциала электростатического поля во всем пространстве.

б) Применить теорему инверсии, взяв центр инверсии вне проводящей сферы. Убедиться непосредственно, что полученное решение описывает потенциал заземленной сферы в присутствии точечного заряда —VR, где R — радиус инверсии.

в) Каков физический смысл инвертированного решения в случае, когда центр инверсии находится внутри проводящей сферы?

2.10. Зная, что емкость тонкого плоского кругового проводящего диска радиусом а равна и что поверхностная плотность заряда на изолированном диске, находящемся под определенным потенциалом, пропорциональна где расстояние от центра диска,

а) показать, что методом инверсии можно найти потенциал бесконечной заземленной проводящей плоскости с круглым отверстием, в произвольной точке которого находится точечный заряд;

б) показать, что для случая единичного точечного заряда, расположенного в центре отверстия, индуцированный заряд на плоскости равен

в) показать, что являются частными случаями более общей задачи о нахождении потенциала заземленной проводящей сферической чаши в присутствии заряда, расположенного в некоторой точке срезанной ее части, которая также решается методом инверсии потенциала диска.

2.11. Полый куб ограничен проводящими гранями, определяемыми шестью плоскостями Грани и находятся под потенциалом V, остальные — под нулевым потен: циалом.

а) Найти потенциал в произвольной точке внутри куба.

б) Рассчитать численно потенцйал в центре куба с точностью до трех значащих цифр. Сколько членов ряда нужно удержать, чтобы получить требуемую точность? Сопоставить полученное численное значение со средним значением потенциала на гранях.

в) Найти распределение поверхностной плотности заряда на грани