§ 2. Кинематика осколков при распаде нестабильной частицы

В качестве первой иллюстрации релятивистской кинематики, в которой используется только -векторный характер импульса и энергии частицы, рассмотрим распад нестабильной частицы на две. Такой распад является довольно частым явлением. Приведем несколько примеров.

1. Заряженный -мезон распадается с временем жизни сек на -мезон и нейтрино:

Энергия покоя -мезона М равна а -мезона Масса покоя нейтрино равна нулю. Таким образом, при распаде -мезона освобождается энергия, равная

2. Заряженный -мезон иногда распадается с временем жизни сек на два -мезона:

Заряженный -мезон имеет энергию покоя а энергии покоя -мезонов равны Следовательно, освобождается энергия, равная

3. -гиперон распадается с временем жизни сек на нейтрон или протон и -мезон:

Энергия покоя -гиперона М равна энергии покоя протона и нейтрона составляют Массы -мезонов приведены выше. Энергия, освобождающаяся при распаде А-гиперона, равна для первого варианта и для второго.

Распад частицы с массой покоя М на две частицы с массами

    (12.14)

возможен только в том случае, когда масса начальной частицы больше, чем сумма масс конечных частиц. Введем так называемый дефект массы

    (12.15)

Сумма кинетических энергий двух появившихся частиц должна быть равна А М. Поскольку исходная система имела нулевой импульс, то обе частицы должны иметь равные и противоположно направленные импульсы . Согласно (12.11), закон сохранения энергии можно записать в виде

    (12.16)

Это соотношение определяет абсолютную величину импульса и значения энергии и обеих частиц.

Вместо того чтобы решать уравнение (12.16), получим ответ с помощью полезного метода, основанного на лоренц-инвариантности скалярного произведения двух -векторов. Сохранение энергии и импульса в двухчастичном распаде можно записать в виде -век-торного уравнения:

    (12.17)

где -векторные индексы опущены. Квадраты -векторов импульса являются инвариантами

    (12.18)

Чтобы не перепутать квадраты -векторов с квадратами трехмерных векторов будем квадраты -векторов записывать в виде скалярных произведений. Согласно (12.17), для квадрата -вектора получим

Скалярное произведение лоренц-инвариантно. В системе координат, где частица М покоится, пространственная часть равна нулю и, следовательно,

    (12.20)

Отсюда полная энергия частицы с массой равна

    (12.21)

и аналогично

    (12.22)

Обычно более полезно знать не полную энергию, а кинетическую энергию. С помощью (12.15) легко показать, что

    (12.23)

где — дефект массы. Член является релятивистской поправкой и в нерелятивистской формуле отсутствует. На первый взгляд эта поправка как будто не имеет релятивистского происхождения, однако легко видеть, что если величина сравнима с единицей, то разлетающиеся частицы должны быть релятивистскими.

Для численной иллюстрации рассмотрим первый описанный выше пример распада -мезона. Дефект массы равен а массы частиц составляют Следовательно, кинетические энергии -мезона и нейтрино имеют следующую величину:

Наличие характерной энергии -мезона, равной в процессе распада покоящегося -мезона и привело в 1947 г. Пауэлла с сотрудниками к открытию -мезона при обработке наблюдений следов в фотоэмульсии.

Впервые -частица была обнаружена в движении по заряженным продуктам ее распада в камере Вильсона. Треки заряженных частиц имели вид, показанный на фиг. 12.1. Отождествление частиц и определение их начального импульса может быть произведено по длине и кривизне их треков в магнитном поле (либо другим способом, например счетом зерен в эмульсии). Для определения массы нерегистрируемой первичной частицы необходимо также знать угол между треками. Возводя в квадрат равенство (12.17), получаем

    (12.24)

Отсюда следует, что

    (12.25)

Вычисляя скалярное произведение в лабораторной системе отсчета, находим

    (12.26)

где — абсолютные величины трехмерных импульсов.

Фиг. 12.1. Распад -частицы в полете.

При распаде на три части или больше образующиеся частицы уже не имеют однозначно определенных импульсов, но их распределение по энергиям не может быть произвольным. Их энергетические спектры имеют определенные верхние границы, которые могут быть найдены с помощью кинематического рассмотрения, аналогичного приведенному здесь (см. задачу 12.2).