§ 3. Дифференциальные уравнения магнитостатики и закон Ампера
Основное соотношение (5.4) для вектора магнитной индукции можно переписать в общем виде для объемного распределения тока с плотностью 
Это выражение для 
является магнитным аналогом выражения для напряженности электрического поля через плотность заряда
Приведенное выражение для Е в некоторых случаях менее удобно, чем дифференциальные уравнения; точно так же соотношение (5.14) не очень удобно, хотя в принципе оно и содержит описание всех явлений магнитостатики.
Для получения дифференциальных уравнений, эквивалентных (5.14), преобразуем это выражение к виду
Из (5.16) сразу следует, что дивергенция В равна нулю:
Это соотношение является первым уравнением магнитостатики и соответствует уравнению 
электростатики. По аналогии с электростатикой вычислим ротор В:
С помощью векторного тождества 
справедливого для произвольного векторного поля А, можно преобразовать выражение (5.18) к виду
Используя соотношения
и
можно переписать интегралы в (5.19) следующим образом:
(5.20)
Интегрирование по частям дает
Для стационарных магнитных явлений 
таким образом, окончательно получаем
Это — второе уравнение магнитостатики, соответствующее уравнению 
в электростатике.
Фиг. 5.4.
В электростатике интегральной формой уравнения 
является теорема Гаусса (1.11). Интегральный эквивалент уравнения (5.22) называют законом Ампера. Его можно получить, применяя теорему Стокса к интегралу от нормальной составляющей (5.22) по поверхности S, ограниченной замкнутым контуром С (фиг. 5.4). При этом
(5.23)
преобразуется к виду
Так как поверхностный интеграл от плотности тока равен полному току 
протекающему через поверхность, ограниченную замкнутым контуром С, закон Ампера может быть переписан в виде
Теорема Гаусса позволяет вычислять электрические поля в задачах с высокой степенью симметрии; совершенно так же может быть использован в аналогичных магнитных задачах закон Ампера.
