§ 7. Среднеквадратичное значение угла рассеяния и угловое распределение при многократном рассеянии

Резерфордовское рассеяние соответствует очень малым углам рассеяния даже для кулоновского поля точечного заряда; для быстрых частиц, кроме того, значение мало по сравнению с единицей. Поэтому вероятность рассеяния на малые углы очень велика. Частица, проходящая слой вещества конечной толщины, испытывает многократные отклонения на малый угол и выходит из слоя под некоторым малым углом рассеяния, представляющим собой статистическую суперпозицию большого числа отклонений. Лишь весьма редко частица будет отклоняться при соударении на большой угол; так как такие события редки, частица испытывает лишь одно подобное соударение. Это обстоятельство позволяет разделить всю область углов на две части: область сравнительно больших углов, соответствующую однократно рассеянным частицам, и область очень малых углов, соответствующую частицам, подвергшимся многократному, или сложному, рассеянию. Полное угловое распределение может быть приближенно определено независимым рассмотрением обеих указанных областей. Промежуточная область так называемого множественного рассеяния дала бы плавный переход от малых углов к большим.

Для области многократного рассеяния, где происходит большое число последовательных отклонений на малые углы, симметрично распределенные относительно направления падения, важнейший характеристикой является среднеквадратичное значение угла рассеяния для одного соударения. Оно определяется соотношением

Принимая приближения, введенные в § 6, получаем

    (13.106)

Если принять квантовое значение (13.99) для определять согласно (13.102), то формулу (13.106) можно переписать в следующем виде:

    (13.107)

Если конечные размеры ядра несущественны (обычно это имеет место лишь для электронов, а для других частиц — только при очень низких энергиях), то величину в (13.106) следует положить равной единице.

Фиг. 13.7.

В этом случае аргумент логарифма в (13.107) принимает вид вместо

Часто нас интересует проекция угла рассеяния на некоторую плоскость, например плоскость фотоэмульсии или пузырьковой камеры, как показано на фиг. 13.7. Как нетрудно видеть, для малых углов

    (13.108)

Каждое единичное отклонение описывается формулой Резерфорда (13.92), «обрезанной» должным образом при со средним значением угла рассеяния или его проекции, равным нулю, и средним квадратом определяемым согласно (13.106).

Так как последовательные соударения являются независимыми событиями, то можно воспользоваться центральной предельной теоремой математической статистики, согласно которой для большого числа таких соударений угловое распределение приближенно описывается гауссовым распределением относительно направления падения частицы со средним квадратом угла рассеяния Число соударений, претерпеваемых частицей при прохождении слоя вещества толщиной t при N атомах в единице объема, равно

    (13.109)

Ч У имин

Отсюда для среднего квадрата угла рассеяния имеем

или, воспользовавшись выражением (13.107) для

    (13.111)

Средний квадрат угла рассеяния линейно растет с увеличением толщины t. При этом для умеренных значений толщин, пока частица не теряет существенной доли своей энергии, основная часть гауссова распределения приходится на очень малые углы отклонения.

Распределение проекций углов отклонения при многократном рассеянии имеет вид

где рассматриваются как положительные, так и отрицательные углы . Формулу Резерфорда (13.92) при малых углах рассеяния можно выразить через проекцию угла рассеяния

Это приводит к следующему закону распределения для проекций угла отклонения при однократном рассеянии:

    (13.114)

Найденный закон углового распределения для однократного рассеяния применим лишь для углов, больших по сравнению с и определяет «хвост» гауссова распределения.

Вводя в качестве аргумента относительную проекцию угла отклонения

    (13.115)

можно переписать угловое распределение для многократного и однократного рассеяния в виде

где использовано соотношение (13.111) для Заметим, что в выбранных единицах относительные распределения для многократного и однократного рассеяния не зависят от толщины слоя, а определяются лишь значением Z, причем зависимость от Z тоже довольно слабая.

Фиг. 13.8. Распределение проекций углов отклонения при многократном и однократном рассеянии. Плавный переход в области множественного рассеяния от многократного рассеяния на малые углы (приближенно следующего гауссову закону) к упругому рассеянию на большие углы (пропорционального ) показан пунктиром.

Действительно, величина равна 36,0 при (для алюминия) и 31,0 при (для свинца). Общий характер угловых распределений рассеяния показан на фиг. 13.8. Переход от многократного рассеяния к одиночным соударениям

происходит вблизи . В этой точке функция распределения Гаусса убывает примерно до 1/600 своего максимального значения. Таким образом, распределение, соответствующее однократному рассеянию, представляет лишь весьма малый «хвост» кривой многократного рассеяния.

Имеются два обстоятельства, обусловливающие отклонение хода углового распределения от изображенных на фиг. 13.8 простых зависимостей. Закон Гаусса представляет собой предельную форму углового распределения, соответствующую очень большим . Если толщина t такова, что определяемое соотношением (13.109) число соударений не очень велико (скажем, ), то распределение характеризуется кривой для однократного рассеяния (для углов, меньших и максимум распределения при малых углах становится более резким, чем у гауссовой кривой. Если же, наоборот, толщина слоя слишком велика, то средний квадрат угла рассеяния становится сравнимым с углом Эмакс (13.102), ограничивающим угловую ширину распределения при однократном рассеянии. Для еще больших толщин кривая, соответствующая многократному рассеянию, перекрывает область углов, соответствующих однократному рассеянию, так что кривая углового распределения не имеет хвоста, характерного для однократного рассеяния (см. задачу 13.5).