§ 2. Полная мощность, излучаемая ускоренно движущимся зарядом. Формула Лармора и ее релятивистское обобщение

Если заряд, движущийся ускоренно, наблюдать в системе отсчета, в которой его скорость можно считать малой по сравнению со скоростью света, то в этой системе отсчета слагаемое поля (14.14), зависящее от ускорения, принимает вид

Фиг. 14.3.

Мгновенный поток энергии определяется вектором Пойнтинга

    (14.19)

Отсюда следует, что мощность, излучаемая в единицу телесного угла, равна

Обозначая через угол между ускорением v и (фиг. 14.3), можно переписать выражение для излучаемой мощности в виде

Мы получили известную характерную угловую зависимость Из выражения (14.18) следует, что излучение поляризовано в плоскости

скости векторов v и . Полная мгновенная мощность излучения определяется интегрированием выражения (14.21) по всем телесным углам:

Это известная формула Лармора для нерелятивистского заряда, движущегося с ускорением.

Используя ковариантность относительно преобразований Лоренца, можно обобщить формулу Лармора (14.22) на случай произвольной скорости заряда. Энергия электромагнитного излучения ведет себя по отношению к преобразованию Лоренца как четвертая составляющая -вектора (см. задачу 11.13). Так как , то мощность Р инвариантна относительно преобразований Лоренца. Если удастся найти инвариантное относительно преобразований Лоренца выражение, переходящее в формулу Лармора (14.22), при то это и будет желаемое обобщение формулы Лармора. Разумеется, существует много лоренц-инвариантных величин, сводящихся к требуемому виду при . Однако, как очевидно из (14.14), искомое выражение должно зависеть лишь от . При этом ограничении, накладываемом на порядок производных, которые могут входить в соотношение, результат определяется единственным образом. Для нахождения требуемого обобщения перепишем формулу Лармора в виде

где — масса заряженной частицы, — его импульс. Лоренц-инвариантное обобщение этого соотношения очевидно:

— приращение собственного времени, а означает -вектор импульса-энергии заряженной частицы. Чтобы убедиться, что выражение (14.24) переходит при в (14.23), вычислим скалярное произведение -векторов:

Выражая в (14.24) все величины через скорость и ускорение с помощью соотношений , получаем результат Лиенара (1898 г.)

    (14.26)

Релятивистское выражение для мощности излучения используется, в частности, при расчете ускорителей заряженных частиц. Потери на излучение в ряде случаев являются определяющим фактором, ограничивающим практически достижимую энергию в ускорителе. При заданной внешней силе (т. е. данной скорости изменения импульса) мощность излучения (14.24) обратно пропорциональна квадрату массы ускоряемой частицы. Следовательно, влияние этих радиационных эффектов должно быть наибольшим для электронов. Поэтому мы ограничимся в дальнейшем лишь рассмотрением излучения электронов.

В линейном ускорителе движение одномерно. Как следует из (14.25), в этом случае мощность излучения определяется соотношением

Скорость изменения импульса равна изменению энергии частицы на единице пути. Следовательно,

так что при прямолинейном движении мощность излучения зависит лишь от внешних сил, определяющих величину изменения энергии частицы с расстоянием, и не зависит от самой энергии или импульса частицы. Для отношения мощности излучения к мощности, поступающей от внешних источников, получим

где последнее выражение справедливо для релятивистских частиц . Как следует из (14.29), потери на излучение несущественны, если прирост энергии на расстоянии см не превышает , т. е. прирост менее Обычно приращение энергии в линейном ускорителе меньше или порядка Таким образом, потери на излучение в линейных ускорителях пренебрежимо малы.

Положение коренным образом меняется для циклических ускорителей типа синхротрона или бетатрона. В таких установках при движении частицы по орбите направление импульса быстро

изменяется, а изменение энергии за оборот мало. Это означает, что

    (14-30)

В этом случае мощность излучения можно приближенно представить в виде

    (14.31)

где использовано соотношение — радиус орбиты. Для потерь энергии на излучение за один оборот имеем

    (14.32)

Для электронов большой энергии численное значение потерь можно определить по формуле

    (14.33)

Для типичного синхротрона на небольшую энергию Следовательно, на оборот. Это — величина небольшая, но не пренебрежимо малая по сравнению с приростом энергии на оборот, составляющим обычно несколько килоэлектрон-вольт. Для самых больших электронных синхротронов, где максимальная энергия имеет величину порядка радиус орбиты составляет примерно При этом потери на излучение оказываются — на оборот. Так как практически очень трудно получить высокочастотную мощность, обеспечивающую такой прирост энергии на обороте, который был бы много больше этой величины, то значение представляет верхний предел достижимых энергий в циклических электронных ускорителях.

Для расчета мощности излучения в циклических ускорителях удобна формула

где J — ток пучка. Она справедлива в том случае, когда излучение различных электронов циркулирующего пучка некогерентно. В крупнейших электронных синхротронах мощность излучения достигает на тока пучка. Хотя эта излучаемая мощность и очень мала, излучение может быть легко обнаружено и обладает рядом интересных особенностей, которые мы рассмотрим в § 6,