§ 2. Тормозное излучение при нерелятивистских кулоновских соударениях

Излучение с непрерывным спектром чаще всего испускается при соударении быстрой частицы с атомом. В качестве модели процесса рассмотрим вначале соударение быстрой, но нерелятивистской частицы, имеющей заряд массу М и скорость v, с покоящимся точечным зарядом Предположим для простоты, что отклонение налетающей частицы мало. При этом справедливы приведенные в] гл. 13 соображения, ограничивающие величину прицельного параметра. Фактически большая часть рассуждений, проведенных в гл. 13 при рассмотрении энергетических потерь, может быть почти полностью перенесена на наш случай.

Для малых отклонений в кулоновском поле точечного заряда изменение импульса является чисто поперечным и описывается выражением (13.1), умноженным на Z. Таким образом, полное изменение скорости налетающей частицы, характеризуемой прицельным параметром b, равно

Спектральное распределение излучения можно приближенно описать выражением (15.7) (умноженным на ), в котором, согласно (15.3), время соударения Спектр частот простирается от до

    (15.11)

Так же как и при рассмотрении потерь энергии, физически интересной величиной является сечение рассеяния, получаемое интегрированием по всем возможным значениям прицельных параметров. В соответствии с этим определим сечение излучения

    (15.12)

оно имеет размерность [площадь-энергия/частота]. Классические значения пределов изменения прицельного параметра можно найти из соображений, аналогичных приведенным в гл. 13, § 1. Минимальное значение прицельного параметра [см. формулы равно

    (15.13)

а максимальное значение определяется условием обрезания спектра (15.11). Если интересоваться значением при фиксированной частоте , то, очевидно, заметное излучение на этой частоте возможно только в тех случаях, когда прицельный параметр меньше величины

    (15.14)

так как только при выполнении этого условия ускорения будут достаточно велики. Если учесть это ограничение, накладываемое на величину то сечение тормозного излучения оказывается равным

    (15.15)

где к — численный множитель порядка единицы, учитывающий неопределенность предельных значений прицельного параметра. Полученный результат справедлив лишь для частот, для которых аргумент логарифма велик по сравнению с единицей, что соответствует Это означает, что существует классический верхний предел собаке в спектре частот, определяемый формулой

Для тяжелых медленных частиц с большим зарядом справедливо классическое выражение для сечения тормозного излучения, но в полной аналогии с теорией энергетических потерь в случае быстрых слабо заряженных частиц начинает существенно сказываться их волновая природа. Квантовые модификации соответствующих формул можно ввести совершенно аналогично тому, как это было сделано в гл. 13, § 3. При учете волновой природы налетающей частицы получаем квантовомеханический нижний предел для прицельного параметра

Это значит, что сечение тормозного излучения вместо (15.15) описывается приближенной формулой

    (15.18)

Заметим, что аргумент логарифма отличается от прежнего выражения множителем , где определяется выражением (13.42), a Z учитывает заряд ядра. Области применимости классической и квантовомеханической формул определяются в этом случае

по тем же правилам, как и при рассмотрении потерь. Область частот в (15.18) простирается вплоть до максимальной частоты

Заметим, что эта предельная частота близка к получающейся из закона сохранения энергии (омакс . Так как классический результат справедлив лишь при , выполняется соотношение

Оно показывает, что спектр излучения, описываемый классическими формулами, всегда ограничен лишь очень низкими частотами по сравнению с максимальным значением, определяемым из закона сохранения энергии. Поэтому классическая область представляет незначительный интерес. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь квантовомеханические соотношения.

Хотя верхний предел частоты (15.19) и соответствует приближенно получающемуся из закона сохранения энергии, квантовое выражение для сечения излучения вблизи верхней границы спектра применимо лишь качественно. Причина этого, как уже отмечалось во введении к настоящей главе, заключается в дискретной квантовой природе испускаемых фотонов. Для мягких фотонов, энергия которых значительно меньше максимальной, дискретность природы излучения несущественна, так как уносимые энергия и импульс пренебрежимо малы. Для жестких же фотонов вблизи границы спектра эти эффекты значительны. Один из очевидных возможных способов учета требования сохранения энергии состоит в том, что в определение прицельных параметров (15.14) и (15.17) вводится средняя скорость

где -начальная кинетическая энергия частицы, а — энергия излученного фотона. Подставляя в (15.18) вместо v эту среднюю скорость, получаем

При это выражение для сечения тормозного излучения в точности совпадает с квантовомеханическим результатом в борновском приближении, впервые полученным Бете и Гайтлером (1934 г.). Аргумент логарифма равен, очевидно, единице при

так что закон сохранения энергии удовлетворяется. На фиг. 15.3 изображены кривые зависимости сечения излучения от частоты. Приведены кривые, соответствующие формуле Бете—Гайтлера (15.22), «полуклассической» квантовой формуле (15.18) и классической формуле (15.15), в которых положено

Фиг. 15.3. Зависимость сечения тормозного излучения для кулоновских столкновений частоты, нормированной к максимальному значению частоты . Кривая 1 соответствует классическому выражению (для применимому лишь для очень низких частот; кривая 2 — борновскому квантовомеханическому; кривая 3 — полуклассическому выражению (15.18).

Спектральное распределение тормозного излучения иногда характеризуют сечением излучения фотона, имеющим размерность [площадь /энергия]:

    (15.23)

Сечение излучения фотона, очевидно, равно

где аргумент логарифма тот же, что и в (15.15) или (15.22). Так как логарифм меняется относительно медленно в зависимости от энергии фотона, то сечение сгторм приблизительно пропорционально . Это известная характерная особенность спектра тормозного излучения.

Зависимость сечения излучения от свойств частиц, участвующих в соударении, определяется множителем Очевидно, излучение наиболее велико в средах с большим атомным номером. Полная энергия, теряемая на излучение частицей при прохождении ею слоя единичной толщины вещества, содержащего N неподвижных зарядов Ze (атомных ядер) в единице объема, равна

    (15.25)

Используя выражение (15.22) для и переходя к переменной интегрирования можно переписать формулу для потерь в виде

Безразмерный интеграл оказывается равным единице. Для сравнения приведем отношение потерь энергии на излучение к потерям на соударения (13.13) или (13.44):

Для нерелятивистских частиц потери на излучение пренебрежимо малы по сравнению с потерями при соударениях. Заметим, что для тех случаев, когда наряду с основным процессом (в данном случае — отклонение частицы в кулоновском поле ядра) учитывается излучение, характерно появление в выражениях постоянной тонкой структуры Наличие множителя связано с тем, что потери на излучение определяются ускорением налетающей частицы, тогда как потери при соударениях определяются ускорением электрона.