§ 7. Излучение линейной антенны с центральным возбуждением

В качестве иллюстрации применения метода разложения по мультиполям в случае, когда размеры источника сравнимы с длиной волны, рассмотрим излучение возбуждаемой в центре тонкой линейной антенны (фиг. 16.3). В гл. 9 уже были найдены поля при синусоидальном распределении тока. Это точное решение

послужит нам для сопоставления при оценке сходимости разложения по мультиполям. Пусть антенна, расположенная вдоль оси z на участке имеет в центре малый зазор, служащий для ее возбуждения. Распределение тока в антенне должно быть четной функцией z и обращаться в нуль на концах антенны.

Фиг. 16.3. Линейная антенна с возбуждением в центре.

Не конкретизируя пока распределения тока, можно написать

    (16.112)

Так как токи радиальные, то Кроме того, в этой задаче собственная намагниченность тоже отсутствует. Поэтому все коэффициенты возбуждения (т. е. мультипольные коэффициенты) полей магнитных мультиполей оказываются равными нулю. Для определения коэффициентов возбуждения полей электрических мультиполей , согласно (16.91), необходимо знать распределение плотности токов и зарядов. Плотность тока J соответствует радиальному току вдоль оси z, В сферических координатах для ее можно представить в виде

    (16.113)

где -функции обеспечивают наличие тока лишь на оси . Распределение плотности зарядов можно найти из уравнения непрерывности (16.78):

Подставляя эти выражения для J и q в (16.91), получаем

Выполним интегрирование в последнем интеграле

    (16.116)

откуда следует, что возбуждаются лишь мультиполи с Это, конечно, очевидно из цилиндрической симметрии антенны. Полиномы Лежандра являются четными функциями угла (относительно значения ) для четных и нечетными — для нечетных Следовательно, возбуждаются лишь нечетные мультиполи, а последний интеграл равен

После некоторых преобразований (16.115) можно записать в виде

    (16.118)

Для вычисления интеграла в (16.118) следует задаться распре делением тока вдоль антенны. Если бы не было излучения, то синусоидальному изменению тока во времени с частотой со соответствовало бы синусоидальное пространственное изменение с волновым числом . Наличие излучения несколько изменяет пространственное распределение тока. Для нахождения истинного пространственного распределения тока вдоль антенны следовало бы рассмотреть граничную задачу для суммарного поля антенны и излучения. Эта весьма сложная задача встает перед нами в тех случаях, когда необходимо иметь точное решение. К счастью, влияние излучения на распределение тока не очень существенно, и им можно пренебречь. Достаточно хороший результат получается

уже, если считать распределение тока синусоидальным. Поэтому мы примем, что

    (16.119)

где — максимальное значение тока, а фаза выбрана так, чтобы ток обращался в нуль на краях антенны. При синусоидальном распределении тока второе слагаемое в подынтегральном выражении в (16.118) обращается в нуль. Остающаяся часть представляет собой полный дифференциал, так что при описываемом соотношением (16.119), сразу получаем

    (16.120)

Поскольку мы хотим исследовать разложение по полям мультиполей при размерах источника, сравнимых с длиной волны, рассмотрим частные случаи полуволновой и полноволновой антенн. Для этих двух значений в приведенной ниже таблице даны значения коэффициента возбуждения для а также относительные значения коэффициентов для

Из приведенной таблицы следуют очевидные выводы: а) с ростом коэффициенты быстро убывают по величине, б) коэффициенты, соответствующие большим значениям тем более существенны, чем больше размеры источника. Однако даже для полноволновой антенны, очевидно, вполне достаточно удержать в угловом распределении лишь моменты с и наверняка достаточно учета лишь этих членов при нахождении полной мощности излучения (в выражение для которой входят квадраты коэффициентов).

Удерживая в угловом распределении лишь дипольный и октупольный моменты, получаем из выражения (16.70) для мощности излучения в единицу телесного угла

С учетом соотношений

    (16.122)

формула (16.121) может быть приведена к виду

    (16.123)

где коэффициент К равен 1 для полуволновой и — для полноволновой антенн. Коэффициент при выражении в (16.123) равен соответственно 0,0463 и 0,304 для полуволновой и полноволновой антенн.

Полученные в гл. 9 точные угловые распределения (для синусоидального возбуждающего тока) имеют вид

    (16.124)

Результаты численного сравнения точного и приближенного угловых распределений представлены на фиг. 16.4. Сплошные кривые относятся к точным результатам, штриховые кривые соответствуют разложениям по мультиполям с учетом двух низших членов. Для полуволновой антенны (фиг. 16.4, а) пунктиром изображено также распределение в простом дипольном приближении, соответствую учету лишь первого члена в (16.123). При кривая, соответствующая мультипольному разложению с учетом двух членов, почти неотличима от точного результата. В этом случае даже простейшее (дипольное) приближение не слишком отличается от точного решения. Для полноволновой антенны (фиг. 16.4, б) точность дипольного приближения, очевидно, недостаточна. Однако учет двух членов разложения по мультиполям приводит уже к достаточно хорошему распределению, отличающемуся от точного меньше чем на 5% в области максимума излучения.

Полная излучаемая мощность, согласно (16.75), равна

Как следует из приведенной на стр. 619 таблицы, для полуволновой антенны излучаемая мощность в 1,00245 раза превышает мощность излучения простого диполя, равную

(см. скан)

Фиг. 16.4. Угловое распределение излучения полуволновой и полноволновой линейной антенны с возбуждением в центре. Сплошные кривые — точное решение; штриховые кривые получены при учете двух членов разложения по мультиполям. Для полуволновой антенны показано также простое дипольное приближение (пунктирная кривая). Диаграмма излучения с учетом двух членов превосходно согласуется с точными результатом, особенно для случая

Для полноволновой антенны мощность излучения в 1,114 раза больше, чем для соответствующего диполя, для которого она равна .