§ 4. Влияние плотности на потери энергии при соударении

Экспериментально наблюдаемые потери энергии при прохождении частиц всех видов в различных материальных средах для не слишком релятивистских частиц весьма точно описываются соотношением (13.44) [или (13.36), если Однако для ультрарелятивистских частиц наблюдаемые потери несколько меньше рассчитываемых с помощью соотношения (13.44), особенно для веществ с большой плотностью. На графике зависимости от энергии частиц типа фиг. 13.4 это сказывается в том, что реальная кривая потерь энергии возрастает после прохождения минимума приблизительно вдвое медленнее, чем расчетная; это соответствует зависимости аргумента логарифма в (13.44) не от второй, а от первой степени у. Потери энергии в фотоэмульсиях, измеряемые по плотности зерен серебра, после прохождения минимума очень слабовозрастают, а затем образуют на графике плато, простирающееся до наивысших исследованных значений энергии частиц. Это также соответствует понижению степени у на единицу, в данном случае в выражении (13.50) для

Указанное уменьшение потерь энергии частицы, известное как эффект плотности (или поляризационный эффект), впервые было исследовано теоретически Ферми (1940 г.). До сих пор мы неявно принимали одно допущение, которое перестает выполняться для плотных сред. Мы считали возможным вычислять вначале действие поля налетающей частицы на отдельный атомный электрон, а затем простым суммированием определять передачу энергии всем электронам для всех атомов с Но величина Ьшакс очень велика по сравнению с размерами атома, особенно при больших у. Следовательно, при значении 6, сравнимом с Ьмакс, в плотных средах между траекторией налетающей частицы и рассматриваемым

атомом находится большое число атомов. Поле быстрой частицы влияет на эти атомы, что в свою очередь приводит к появлению возмущающих полей в месте расположения рассматриваемого атома. Иными словами, в плотных средах вследствие поляризации диэлектрика поле частицы в свободном пространстве заменяется характерным макроскопическим полем в диэлектрике. Это изменение поля, обусловленное поляризацией среды, следует учитывать при расчете энергии, передаваемой в дальних соударениях. В близких соударениях налетающая частица взаимодействует одновременно лишь с одним атомом. Поэтому в данном случае применимы расчеты, основанные на значении поля свободной частицы без учета поляризационных эффектов. Значение прицельного параметра, разграничивающее близкие и дальние соударения, по порядку величины совпадает с атомными размерами. Так как окончательный результат получается сопряжением двух логарифмических величин, нет необходимости определять разграничивающее значение b с большой точностью.

Определим теперь потери энергии при дальних соударениях в предположении, что электромагнитные поля в веществе можно рассчитывать, считая среду непрерывной и имеющей макроскопическую диэлектрическую проницаемость Если а есть величина порядка размеров атома, то это приближение перестает выполняться для дальних соударений со значениями 6, близкими к нижнему пределу, но справедливо для подавляющего большинства соударений.

Задача об определении электрического поля быстрой частицы, движущейся с постоянной скоростью в среде, легче всего решается с помощью преобразования Фурье. Осуществляя в соответствии с общим правилом фурье-преобразование потенциалов и плотности источников по координатам и времени

    (13-53)

приходим к следующим волновым уравнениям для спектральных амплитуд:

Появление в (13.54) диэлектрической проницаемости определяется тем, что в макроскопические уравнения Максвелла входит вектор электрической индукции D. Фурье-преобразование плотностей заряда и тока

    (13.55)

легко выполняется; при этом получаем

Как следует из (13.54), фурье-преобразование потенциалов дает

    (13.57)

Используя соотношения, выражающие электромагнитные поля через потенциалы, для фурье-амплитуд полей получаем

    (13.58)

Как видно из формулы (13.23), для вычисления потерь энергии нужно знать временное фурье-представление электрического поля на расстоянии b по нормали от траектории частицы, движущейся вдоль оси . Очевидно,

    (13.59)

где точка наблюдения имеет координаты . Чтобы проиллюстрировать метод вычисления найдем — составляющую вектора параллельную вектору v. Согласно (13.57) и (13.58),

Интегрирование по может быть проведено сразу. В результате имеем

где

Интеграл по равен таким образом, можно переписать в виде

Оставшийся интеграл имеет тот же вид, что и интеграл в (13.28). Окончательно получим

где знак квадратного корня при определении X с помощью (13.62) выбирается так, чтобы значение X находилось в четвертом квадранте. Аналогичные вычисления приводят к следующим выражениям для других составляющих полей:

Как легко видеть, в предельном случае выражения для полей (13.64) и (13.65) переходят в ранее полученные выражения (13.30) и (13.29).

Для определения энергии, передаваемой атому при соударении с прицельным параметром b, достаточно представить (13.23) в более общем виде

    (13.66)

где — амплитуда колебаний атомного электрона типа. Вместо того чтобы воспользоваться формулой (13.19) для выразим сумму дипольных моментов через поляризуемость молекул и тем самым через диэлектрическую проницаемость

    (13.67)

где N — число атомов в единице объема. При этом выражение для передаваемой энергии принимает вид

    (13.68)

Потери энергии на единице длины за счет соударений с прицельными параметрами можно, очевидно, записать как

Подставляя в (13.68) и (13.69) выражения для полей (13.64) и (13.65), после ряда вычислений приходим к результату, полученному Ферми:

где к определяется соотношением (13.62). Этот же результат можно получить более изящно, вычисляя электромагнитную энергию, излученную через поверхность цилиндра радиусом а, окружающего траекторию налетающей частицы. В силу закона сохранения энергии эта величина совпадает с энергией, теряемой частицей в единицу времени. Таким образом,

    (13.71)

Интеграл по для данного момента времени эквивалентен интегралу по всем моментам времени для фиксированной точки на цилиндре. Введя получим

Обычным способом можно преобразовать его в интеграл по частотам:

    (13.73)

Используя выражения для полей (13.64) и (13.65), вновь приходим к результату Ферми (13.70).

Выражение Ферми (13.70) для потерь энергии внешне мало похоже на приведенные нами ранее результаты, например формулу (13.35). Однако если влияние поляризационных эффектов незначительно, то оно дает прежний результат. Например, для нерелятивистских частиц как ясно из (13.62), величина не зависит от . В этом случае модифицированные функции Бесселя в (13.70) действительны. Значение интеграла определяется лишь мнимой частью функции . Пренебрегая поляризационной

поправкой Лоренца (4.67) для внутреннего поля в атоме, можно представить диэлектрическую проницаемость в виде

где при вычислении дипольного момента использовано выражение (13.19). Если второй член предполагается малым, то мнимую часть функции легко вычислить и подставить ее в (13.70). При этом в том же приближении, которое использовалось при выводе соотношений (13.24) — (13.26), интеграл по может быть преобразован к нерелятивистскому выражению (13.35). Если принебречь отличием К от но не делать других допущений, то (13.70) приводит точно к формуле Бора (13.35).

Поляризационный эффект проявляется, очевидно, в комплексности аргумента модифицированных функций Бесселя, что соответствует учету члена с в (13.62). Так как величина входит в (13.62) в виде произведения на ясно, что этот эффект фактически заметен лишь при больших энергиях. Подробные вычисления для всех энергий с использованием явного выражения для типа (13.74) весьма сложны и не приводят к сколько-нибудь наглядным результатам. Поэтому мы ограничимся лишь рассмотрением ультрарелятивистского предельного случая Кроме того, так как в интеграле по наиболее важны оптические частоты, а радиус а имеет порядок атомных размеров, величина Следовательно, можно использовать приближенные выражения для функций Бесселя (3.103), справедливые в предельном случае малых аргументов. Выражение Ферми (13.70) в ультрарелятивистском предельном случае принимает вид

    (13.75)

Здесь уместно подчеркнуть, что аргумент второго логарифмического члена в действительности равен ]. В частном случае этот логарифмический член дает множитель у под логарифмом, что соответствует ранее приведенному результату (13.36). Если же , то этот множитель можно переписать в виде вследствие чего из аргумента логарифма исчезает одна степень у в согласии с экспериментом.

Интеграл по положительным действительным в (13.75), где определяется согласно (13.74), легко преобразуется с помощью теоремы Коши в интеграл по положительным чисто мнимым со.

В этом случае величина становится чисто действительной на пути интегрирования. Следовательно, значение действительной части интеграла будет определяться лишь фазами логарифмов. В приближении результат интегрирования можно представить в простом виде

где — электронная плазменная частота

Соответствующее релятивистское выражение без учета поляризационного эффекта, как следует из (13.36), имеет вид

Сравнение показывает, что учет поляризационного эффекта приводит к более простому асимптотическому выражению для потерь энергии, которые перестают зависеть от деталей структуры атома [величина описываемая соотношением (13.38), не входит в (13.76)] и определяются лишь числом электронов в единице объема, входящим в Потери энергии для ультрарелятивистских частиц в двух веществах с совершенно различной структурой атомов будут одинаковы, если плотность электронов в этих веществах одинакова.

Так как в литературе приведено большое Число рассчитанных по формуле Бете (13.44) кривых потерь энергии, очень часто оказывается удобным знать величину уменьшения потерь, обусловленную влиянием поляризации. Это уменьшение определяется разностью выражений (13.78) и (13.76)

Для фотоэмульсий энергетические потери определяются соотношениями (13.49) и (13.50) с При учете поляризационной поправки потери при больших энергиях стремятся к постоянной величине

Для бромистого серебра Для однозарядных частиц отношение величины потерь (13.80) к плотности оказывается равным приблизительно Это значение потерь энергии хорошо согласуется с экспериментальными данными; оно соответствует

возрастанию потерь относительно минимального значения менее чем на 10%. На фиг. 13.5 изображены типичные кривые полных потерь и потерь с передачей энергии, не превышающей 10 кэв. Пунктирная кривая соответствует формуле Бете для полных потерь без учета поляризационного эффекта.

Существует интересная связь между выражением Ферми (13.70) для потерь энергии и излучением Вавилова — Черенкова. Выражение (13.70) определяет энергию, передаваемую среде на расстояниях, больших а. Переходя к пределу мы выясним, не может ли какая-либо часть энергии уходить в бесконечность.

Фиг. 13 5 Зависимость потерь энергии от кинетической энергии частицы. Пунктирная кривая получена без учета поляризационного эффекта, сплошные кривые — с учетом этого эффекта (верхняя кривая изображает полные потери энергии» нижняя — потери за счет соударений с передачей энергии меньше .

В этом случае можно было бы говорить об излучении энергии. При а можно воспользоваться асимптотическими выражениями (3.104) для функций К. Тогда формула (13.70) приводится к виду

    (13.81)

Если действительная часть X отлична от нуля, наличие экспоненциального множителя обеспечивает быстрое убывание потерь энергии до нуля на больших расстояниях. Как очевидно из (13.62), указанное условие всегда выполняется для сред с поглощением, поскольку в этом случае имеет положительную мнимую часть. Однако при действительных значениях величина X может быть чисто мнимой для некоторых . Это имеет место при ,

т. е. в том случае, когда скорость частицы превышает фазовую скорость света в среде. В этом и состоит условие существования излучения Вавилова — Черенкова. Для таких частот . При этом экспоненциальный множитель обращается в единицу и, следовательно,

Так как полученное выражение не зависит от радиуса цилиндра а, оно представляет собой истинное излучение. Это выражение полностью совпадает с формулой Франка и Тамма (1937 г.) для полной энергии излучения Вавилова — Черенкова на единице пути. Более детально излучение Вавилова — Черенкова как радиационный процесс будет рассмотрено в гл. 14, § 9.

Для сред, в которых поляризационные эффекты играют существенную роль в процессе потерь энергии, поглощение почти всегда столь велико, что возбуждаемое излучение Вавилова — Черенкова поглощается в непосредственной близости от траектории частицы.