§ 8. Макроскопические уравнения

Рассмотренные до сих пор соотношения (5.17) и (5.22) для стационарных магнитных полей следует понимать как микроскопические уравнения в том смысле, как это объяснено в гл. 4. Мы считали плотность тока J известной функцией координат. В макроскопических задачах это часто оказывается несправедливым. Имеющиеся в атомах вещества электроны создают эффективные атомные токи плотность которых очень быстро флуктуирует. Известными и имеющими смысл можно считать лишь их значения, усредненные по макроскопическому объему. Кроме того, электроны обладают собственными магнитными моментами, которые нельзя выразить через плотность электронного тока. Эти магнитные моменты могут создавать дипольные поля, также весьма быстро меняющиеся в пределах атома.

Чтобы учесть магнитные свойства атомов, мы поступим так же, как и в гл. 4. § 3. Вывод макроскопических уравнений мы изложим здесь вкратце. Несколько более полное изложение будет дано в гл. 6, § 10. Дело в том, что в переменных по времени полях часть атомного тока обусловлена временной производной от поляризации Р, так что для полного рассмотрения атомного тока необходимо перейти к общему случаю полей, зависящих от времени.

Полную плотность тока можно разделить на две части:

а) плотность тока проводимости J, обусловленную истинным перемещением зарядов;

б) плотность атомных токов характеризующую токи, циркулирующие внутри атомов и молекул.

Соответственно полный векторный потенциал складывается из двух членов:

Мы используем здесь обозначение а (вместо А) для микроскопического векторного потенциала подобно тому, как в гл. 4 мы обозначали через микроскопическое электрическое поле.

Для определения вклада атомных токов рассмотрим сначала отдельную молекулу, а затем произведем усреднение по всем молекулам. Рассмотрение проводится в точности так же, как и в § 6 этой главы для ограниченного распределения тока. Для молекулы с центром в точке векторный потенциал в точке приближенно равен

Чтобы наряду с орбитальными моментами учесть и собственные магнитные моменты электронов, будем считать тмол общим молекулярным магнитным моментом. Если теперь просуммировать по всем молекулам и усреднить, как в гл. 4, § 3, то получим следующее выражение для макроскопического векторного потенциала:

здесь — макроскопическая намагниченность (т. е. магнитный момент единицы объема), определяемая соотношением

где — число молекул в единичном объеме.

Вклад намагниченности в векторный потенциал А можно представить в более удобной форме

Используя далее тождество , мы получаем

Последний интеграл может быть преобразован в поверхностный интеграл от и обращается в нуль при достаточно хорошем математическом поведении М, если токи локализованы внутри конечного объема. Заменяя последний член соотношения

(5.76) первым членом правой части соотношения (5.79), мы можем записать векторный потенциал в виде

Мы видим, что намагниченность вносит в векторный потенциал такой же вклад, как и ток с эффективной плотностью:

При выводе соотношения (5.80) был сделан один шаг, который требует разъяснения. Он заключается в использовании дипольного векторного потенциала (5.75) для всех молекул, включая и расположенные в окрестности точки х. Для молекул, находящихся внутри сферы с центром в точке х и радиусом порядка несколько молекулярных диаметров d? векторный потенциал существенно отличается от дипольного выражения (5.75) и имеет гораздо менее резко выраженную особенность. Таким образом, в (5.80) влияние молекул, находящихся внутри этой сферы, вычислено неправильно. Чтобы оценить влияние этих молекул, заметим, что величина векторного потенциала, создаваемого единицей объема вблизи точки равна в то время как объем шарового слоя, ограниченного поверхностями с радиусами R и равен Следовательно, ошибка в оценке влияния непосредственной окрестности точки на вектор А имеет величину порядка , где L — характерный макроскопический масштаб изменения М. Поскольку полный векторный потенциал имеет величину порядка то относительная ошибка при использовании дипольного приближения для всех точек по порядку величины равна Она пренебрежимо мала, пока макроскопическая длина L не становится микроскопической. Однако в последнем случае весь вывод теряет силу.

Для получения макроскопического эквивалента уравнения (5.22) запишем В, пользуясь соотношением (5.80), или, что то же самое, заменим в (5.22) J на полный ток

Член с можно объединить с В. При этом мы получим новую макроскопическую характеристику Н, называемую магнитным полем 1):

    (5.83)

При этом макроскопические уравнения, заменяющие (5.26), запишутся в виде

Введение Н в качестве макроскопического поля полностью эквивалентно введению D для электрического поля. Электростатическим аналогом уравнений (5.84) являются уравнения

Подчеркнем, что основными полями являются Е и В. Они удовлетворяют однородным уравнениям систем (5.84) и (5.85). Производные поля D и Н введены для удобства и учитывают в среднем вклад в Q и J атомных зарядов и токов.

По аналогии с диэлектриком следует ожидать, что свойства магнитной среды также можно описать с помощью небольшого числа констант, характеризующих данное вещество. В простейшем случае мы можем предположить, что В и Н пропорциональны друг другу:

Характеризующая вещество постоянная называется магнитной проницаемостью . Такое простое соотношение справедливо только для неферромагнитных материалов. Однако для этих немагнитных веществ обычно отличается от единицы лишь на величину порядка для парамагнитных и для диамагнитных веществ). Для ферромагнитных материалов вместо (5.86) имеет место нелинейная функциональная связь

Явление гистерезиса показывает, что В является неоднозначной функцией Н, как это видно из фиг. 5.8. Фактически значение функции зависит от предыстории вещества. В связи с этим вводится дифференциальная магнитная проницаемость которая определяется как производная от В по Н, в предположении, что

В и Н параллельны. Для веществ, обладающих высокой магнитной проницаемостью, может достигать величин порядка . У большинства необработанных ферромагнитных материалов в очень малых полях наблюдается линейная зависимость (5.86) между В и Н. Обычные величины начальной магнитной проницаемости лежат в интервале от 10 до 104.

Фиг. 5.8. Петля гистерезиса, характеризующая зависимость В от Н в ферромагнетике.

Сложная связь между В и Н в ферромагнитных материалах приводит к специфическим трудностям при решении граничных задач магнитного поля по сравнению с аналогичными задачами электростатики. Однако в ряде случаев благодаря очень большой величине магнитной проницаемости можно ввести упрощающие предположения в граничные условия. В § 9 мы непосредственно займемся этими вопросами.