§ 10. Однородно намагниченный шар

Для иллюстрации различных методов, которые применяются при решении граничных задач магнитостатики, рассмотрим продетую задачу о помещенном в немагнитную среду шаре радиусом а (фиг. 5.11) с однородной постоянной намагниченностью М, равной по величине и направленной вдоль оси . Вне шара Следовательно, при а вектор можно записать как взятый с обратным знаком градиент скалярного магнитного потенциала, удовлетворяющего уравнению Лапласа:

Общее решение для потенциала, удовлетворяющее условию при имеет вид

На предыдущих примерах мы уже убедились, что в этом разложении часто отличны от нуля только несколько первых членов, иногда даже лишь один член с .

Фиг. 5.11.

Внутри намагниченного тела уравнения (5.92), вообще говоря, неприменимы, так как . Для рассматриваемой простой задачи это не приводит к трудностям, поскольку, согласно (5.83), В, Н и М в отсутствие приложенных полей параллельны. Следовательно, мы можем положить

Граничные условия на поверхности сферы требуют непрерывности . Поэтому, согласно (5.92) — (5.94), получаем

Очевидно, в этих разложениях не равны нулю только члены с . Находим неизвестные постоянные и

Итак, поле вне сферы совпадает с полем диполя (5.41) с дипольным моментом

а внутренние поля выражаются следующим образом:

Заметим, что индукция В параллельна намагниченности М, в то время как поле Н антипараллельно М. Силовые линии В и Н изображены на фиг. 5.12.

Фиг. 5.12. Линии В и Н для однородно намагниченного шара.

Линии В являются замкнутыми кривыми, а линии Н начинаются на поверхности шара, где расположены «магнитные заряды» .

Линии В образуют непрерывные замкнутые петли, а линии Н оканчиваются на поверхности шара. Таким образом, на поверхности как бы сосредоточены «магнитные заряды». Эти фиктивные заряды связаны с дивергенцией намагниченности шара (см. ниже).

Решение как внутри, так и вне сферы можно получить также и из теории электростатического потенциала, если рассматривать не В, а Н. При этом следует исходить из уравнений

Эти уравнения показывают, что Н — потенциальный вектор, а можно рассматривать как плотность магнитных зарядов.

Полагая находим

    (5.100)

Так как намагниченность М постоянна по величине и направлению, ее дивергенция внутри сферы равна нулю. Однако следует учесть скачок М на границе сферы, поскольку вне сферы М обращается в нуль. Запишем решение уравнения (5.100) внутри и вне сферы в виде

Отсюда, используя векторное тождество , получаем

    (5.102)

Первый интеграл обращается в нуль при интегрировании по произвольному объему, содержащему шар. Заменяя производную по производной по в соответствии с правилом , справедливым для любой функции от мы можем записать скалярный потенциал в виде

    (5.103)

Вклад в интеграл дает только первый член разложения соответствующий поэтому

    (5.104)

Значение этого интеграла зависит от того, где находится точка наблюдения — внутри или вне сферы. Легко видеть, что

    (5.105)

где — соответственно меньшая и большая из величин и а. Потенциал (5.105) описывает вне шара поле магнитного диполя

с моментом (5.97), а внутри шара — постоянное поле Н [см. (5.98)] в согласии с первым методом решения задачи.

В заключение мы решим эту задачу, используя всегда применимый векторный потенциал. Согласно (5.80), векторный потенциал определяется соотношением

Поскольку М внутри сферы имеет постоянную величину, ротор М везде равен нулю. Однако аналогично предыдущему следует учесть влияние скачка на границе сферы. Воспользовавшись (5.79), мы видим, что А можно представить поверхностным интегралом:

Величину можно рассматривать как поверхностную плотность тока. Отметим, что эквивалентность однородной намагниченности внутри некоторого объема поверхностному току с плотностью на поверхности этого объема является общим результатом для объемов произвольной формы. Эта эквивалентность часто оказывается полезной при рассмотрении полей, создаваемых постоянными магнитами.

В случае сферы, когда вектор М направлен вдоль оси z, вектор имеет только азимутальную составляющую

    (5.108)

Для удобства расчета будем считать, что точка наблюдения лежит в плоскости (так же как в § 5). Отличной от нуля будет только у-составляющая вектора — . Таким образом, азимутальная составляющая векторного потенциала равна

    (5.109)

где точка имеет координаты Зависящий от углов множитель можно представить в виде

    (5.110)

Соответственно в разложении (3.70) для сохранятся только члены с и мы получим

    (5.111)

где — меньшая и большая из величин . Если векторный потенциал А имеет только одну -составляющую, то магнитная индукция В выражается формулами (5.38). Очевидно, в согласии с полученным выше результатом выражение (5.111) дает однородное поле В внутри сферы и дипольное поле снаружи.

Примененные здесь различные методы иллюстрируют возможные подходы к решению задач магнитостатики, в частности, с заданным распределением намагниченности. Метод скалярного потенциала применим только в том случае, когда токи отсутствуют. Для решения же общих задач при наличии токов необходимо использовать векторный потенциал (за исключением некоторых случаев простой геометрии, где могут применяться различные специальные методы).