Общее решение для потенциала, удовлетворяющее условию 
при 
имеет вид
На предыдущих примерах мы уже убедились, что в этом разложении часто отличны от нуля только несколько первых членов, иногда даже лишь один член с 
.
Фиг. 5.11.
Внутри намагниченного тела уравнения (5.92), вообще говоря, неприменимы, так как 
. Для рассматриваемой простой задачи это не приводит к трудностям, поскольку, согласно (5.83), В, Н и М в отсутствие приложенных полей параллельны. Следовательно, мы можем положить
Граничные условия на поверхности сферы требуют непрерывности 
. Поэтому, согласно (5.92) — (5.94), получаем
Очевидно, в этих разложениях не равны нулю только члены с 
. Находим неизвестные постоянные 
и 
Итак, поле вне сферы совпадает с полем диполя (5.41) с дипольным моментом
а внутренние поля выражаются следующим образом:
Заметим, что индукция В параллельна намагниченности М, в то время как поле Н антипараллельно М. Силовые линии В и Н изображены на фиг. 5.12.
Фиг. 5.12. Линии В и Н для однородно намагниченного шара.
Линии В являются замкнутыми кривыми, а линии Н начинаются на поверхности шара, где расположены «магнитные заряды» 
.
Линии В образуют непрерывные замкнутые петли, а линии Н оканчиваются на поверхности шара. Таким образом, на поверхности как бы сосредоточены «магнитные заряды». Эти фиктивные заряды связаны с дивергенцией намагниченности шара (см. ниже).
Решение как внутри, так и вне сферы можно получить также и из теории электростатического потенциала, если рассматривать не В, а Н. При этом следует исходить из уравнений
Эти уравнения показывают, что Н — потенциальный вектор, а 
можно рассматривать как плотность магнитных зарядов.
Полагая 
находим
(5.100)
Так как намагниченность М постоянна по величине и направлению, ее дивергенция внутри сферы равна нулю. Однако следует учесть скачок М на границе сферы, поскольку вне сферы М обращается в нуль. Запишем решение уравнения (5.100) внутри и вне сферы в виде
Отсюда, используя векторное тождество 
, получаем
(5.102)
Первый интеграл обращается в нуль при интегрировании по произвольному объему, содержащему шар. Заменяя производную по 
производной по 
в соответствии с правилом 
, справедливым для любой функции от 
мы можем записать скалярный потенциал в виде
(5.103)
Вклад в интеграл дает только первый член разложения 
соответствующий 
поэтому
(5.104)
Значение этого интеграла зависит от того, где находится точка наблюдения — внутри или вне сферы. Легко видеть, что
(5.105)
где 
— соответственно меньшая и большая из величин 
и а. Потенциал (5.105) описывает вне шара поле магнитного диполя
с моментом (5.97), а внутри шара — постоянное поле Н [см. (5.98)] в согласии с первым методом решения задачи.
В заключение мы решим эту задачу, используя всегда применимый векторный потенциал. Согласно (5.80), векторный потенциал определяется соотношением
Поскольку М внутри сферы имеет постоянную величину, ротор М везде равен нулю. Однако аналогично предыдущему следует учесть влияние скачка 
на границе сферы. Воспользовавшись (5.79), мы видим, что А можно представить поверхностным интегралом:
Величину 
можно рассматривать как поверхностную плотность тока. Отметим, что эквивалентность однородной намагниченности внутри некоторого объема поверхностному току с плотностью 
на поверхности этого объема является общим результатом для объемов произвольной формы. Эта эквивалентность часто оказывается полезной при рассмотрении полей, создаваемых постоянными магнитами.
В случае сферы, когда вектор М направлен вдоль оси z, вектор 
имеет только азимутальную составляющую
(5.108)
Для удобства расчета будем считать, что точка наблюдения лежит в плоскости 
(так же как в § 5). Отличной от нуля будет только у-составляющая вектора — 
. Таким образом, азимутальная составляющая векторного потенциала равна
(5.109)
где точка 
имеет координаты 
Зависящий от углов множитель можно представить в виде
(5.110)
Соответственно в разложении (3.70) для 
сохранятся только члены с 
и мы получим
(5.111)
где 
— меньшая и большая из величин 
. Если векторный потенциал А имеет только одну 
-составляющую, то магнитная индукция В выражается формулами (5.38). Очевидно, в согласии с полученным выше результатом выражение (5.111) дает однородное поле В внутри сферы и дипольное поле снаружи.
Примененные здесь различные методы иллюстрируют возможные подходы к решению задач магнитостатики, в частности, с заданным распределением намагниченности. Метод скалярного потенциала применим только в том случае, когда токи отсутствуют. Для решения же общих задач при наличии токов необходимо использовать векторный потенциал (за исключением некоторых случаев простой геометрии, где могут применяться различные специальные методы).
по величине и направленной вдоль оси 
. Вне шара 
Следовательно, при 
а вектор 
можно записать как взятый с обратным знаком градиент скалярного магнитного потенциала, удовлетворяющего уравнению Лапласа:
