Глава 9. ПРОСТЕЙШИЕ ИЗЛУЧАЮЩИЕ СИСТЕМЫ И ДИФРАКЦИЯ

В двух предыдущих главах мы рассмотрели свойства электромагнитных волн и их распространение в ограниченном и неограниченном пространствах. Однако при этом ничего не было сказано о получении таких волн. В настоящей главе мы частично восполним этот пробел и рассмотрим излучение волн ограниченными системами колеблющихся зарядов и токов. Если рассматривать только достаточно простые излучающие системы, то можно ограничиться сравнительно простым математическим аппаратом. Более систематическое изложение теории излучения будет дано в гл. 16, где рассматриваются мультипольные поля.

Вторая половина главы посвящена вопросам дифракции. Так как скалярная теория Кирхгофа обычно излагается во многих книгах, мы сосредоточим основное внимание на векторных свойствах дифракционных электромагнитных полей.

§ 1. Поля, создаваемые ограниченными колеблющимися источниками

Систему зарядов и токов, изменяющихся во времени, всегда можно разложить на гармоники с помощью рядов или интегралов Фурье и рассматривать в отдельности каждую гармонику. Поэтому без ущерба для общности мы можем рассматривать потенциалы, поля и излучение ограниченной системы зарядов и токов, изменяющихся во времени по синусоидальному закону:

Как обычно, для нахождения истинных физических величин следует брать действительную часть этих выражений. Предполагается,

что электромагнитные потенциалы и поля имеют такую же временную зависимость.

В гл. 6 было показано, что в случае отсутствия ограничивающих поверхностей решение волнового уравнения для векторного потенциала при лоренцовской калибровке имеет вид

Дельта-функция обеспечивает конечную скорость распространения полей. При синусоидальной зависимости от времени (9.1) решение для А принимает вид

где — волновое число, а множитель подразумевается. Магнитное поле определяется соотношением

а электрическое поле вне источников равно

При заданном распределении токов поля, по крайней мере в принципе, могут быть найдены, если вычислен интеграл (9.3). В § 4 этой главы мы рассмотрим некоторые примеры прямого вычисления этого интеграла. Однако сначала мы установим некоторые простые, но общие свойства полей, предполагая, что токи сосредоточены в очень малой по сравнению с длиной волны области. Если размеры источника имеют величину порядка d, а длина волны то представляют интерес три области

Мы увидим, что свойства полей в разных зонах весьма различны. В ближней зоне поля носят характер статических полей: имеются отличные от нуля радиальные составляющие, и изменение полей с расстоянием зависит от свойств источника. В дальней зоне, напротив, поля перпендикулярны радиусу-вектору и всегда спадают по закону характерному для полей излучения.

Если мы рассматриваем поля вдали от источника, т. е. случай (не делая никаких предположений об отношении к X), то в интеграле (9.3) можно положить

где n — единичный вектор в направлении При этом векторный потенциал принимает вид

Предполагая что можно разложить экспоненту и знаменатель в ряд по

Подставив это разложение в (9.7), получим член ряда для А:

где коэффициенты полинома — некоторые целые числа. Это выражение позволяет определить радиальную зависимость поля в общем случае. В ближней зоне, где преобладающим является последний член полинома, так что векторный потенциал стремится к пределу

не зависящему от волнового числа k. Таким образом, ближние поля являются квазистатическими: они гармонически изменяются во времени как но во всех других отношениях имеют статический характер.

В дальней зоне, где доминирующим членом полинома в (9.9) будет первый член, и для векторного потенциала получаем

В этом приближении векторный потенциал дает расходящуюся сферическую волну. Легко показать, что в дальней зоне поля (9.4) и (9.5) перпендикулярны радиусу-вектору и спадают как Таким образом, они представляют собой поля излучения. Амплитуда члена разложения А в волновой зоне равна

Так как имеет величину порядка d, а произведение по предположению, мало по сравнению с единицей, то очевидно, что последовательные члены в разложении А быстро уменьшаются с номером т. Следовательно, излучение источника определяется в основном

ном первым неисчезающим членом разложения (9.8). Перейдем теперь к более детальному анализу полей, соответствующих последовательным членам разложения.