§ 6. Векторные эквиваленты интеграла Кирхгофа

Для получения векторной формулы, эквивалентной интегралу Кирхгофа (9.63), положим

и запишем скалярную формулу (9.63) в виде

Если написать такие соотношения для каждой декартовой составляющей электрического или магнитного поля и векторно сложить их, то получим векторную теорему для Е

и аналогичное выражение для В. Этот результат неособенно удобен для вычислений, но его можно привести к более удобному виду, используя некоторые векторные преобразования. Во-первых, подынтегральное выражение в (9.68) можно представить как

Далее, комбинируя векторные тождества

можно исключить последний член в (9.69)

Используем теперь формулу для ротора произведения вектора на скаляр, чтобы преобразовать второй член в (9.71), и учтем условие при преобразовании третьего члена. В результате получим

Преобразование двух членов (9.68) в шесть членов (9.72) может показаться не очень целесообразным, однако мы сейчас покажем, что поверхностные интегралы от первых трех членов в (9.72), содержащих произведение GE, тождественно обращаются в нуль.

Для этого воспользуемся легко проверяемыми тождествами, связывающими поверхностные интегралы по замкнутой поверхности S с объемными интегралами по области, заключенной внутри

Здесь — произвольные векторная и скалярная функции. С помощью этих тождеств поверхностный интеграл от первых трех членов в (9.72) можно записать в виде

Так как то объемный интеграл тождественно равен нулю

Оставшиеся три члена в (9.72) дают еще одну возможную форму векторного соотношения Кирхгофа (9.68). Заменяя на В с помощью уравнения Максвелла можно привести формулу для электрического поля в произвольной точке объема, ограниченного поверхностью S, к виду

Аналогично для магнитного поля имеем

В интегралах (9.75) и (9.76) вектор , как обычно, — единичный вектор внешней нормали. Этим интегралам можно дать наглядную интерпретацию, введя эквивалентные источники (заряды и токи). Нормальную составляющую Е в (9.75) можно, очевидно, рассматривать как эффективную плотность поверхностного заряда. Аналогично в соответствии с (8.14) тангенциальную составляющую магнитного поля (n X В) можно рассматривать как эффективный поверхностный ток. Оставшиеся члены интерпретируются соответственно как эффективные поверхностные магнитные заряды и токи.

Векторные формулы (9.75) и (9.76) являются векторными аналогами скалярной теоремы Гюйгенса — Кирхгофа (9.63). Если поля и В удовлетворяют на бесконечности условиям излучения (9.64) и, кроме того, векторному соотношению то легко показать, что интеграл по бесконечно удаленной части поверхности S равен нулю. Поэтому в обозначениях фиг. 9.5 электрическое поле (9.75) запишется в виде

где S — поверхность соответствующей дифракционной системы, а нормаль направлена теперь внутрь области наблюдения.

Векторная теорема (9.77) является важным обобщением скалярного выражения (9.65). В ней полностью учтен векторный характер электромагнитного поля. Однако для расчета дифрагированных полей и здесь необходимо знать величины Е и В на поверхности Для достаточно коротких волн применимо приближение Кирхгофа, описанное в предыдущем параграфе. Резкий скачок Е и В от невозмущенных величин в освещенной области поверхности до нуля в теневой области может быть математически скомпенсирован линейными токами, текущими по границам отверстий

Из соотношения (9.77) можно получить очень удобную формулу для частного случая плоской граничной поверхности Представим себе, что поверхность охватывающая источники и изображенная в правой части фиг. 9.5, изменена по форме так, что представляет собой большой плоский диск, показанный на фиг. 9.6. Область «проходящих» волн II разбивается теперь на области II и соединяющиеся только посредством кольцевого отверстия на бесконечности. Обозначим стороны диска через и S. Единичные векторы направлены соответственно в области II и II. Найдем интегральное выражение для полей в области II через поля на правой поверхности S Этот случай аналогичен изображенному

в левой части фиг. 9.5. Величины полей в области нас не интересуют. Поэтому можно подобрать гипотетические источники внутри диска, чтобы окончательные выражения для дифрагированных полей в области II были особенно удобны. Получив желаемое выражение для полей в области II в виде интеграла по поверхности [см. соотношение (9.82)], мы можем забыть о способе его вывода и не интересоваться левой частью фиг. 9.6.

Фиг. 9.6.

Для нас представляет интерес лишь дифрагированное поле в области определяемое отверстиями или препятствиями, расположенными на плоской поверхности

Если поля в областях II и II соответственно равны Е, В и Е, В, то, как видно из фиг. 9.6, при стремлении толщины диска к нулю интеграл (9.77) можно записать в виде

Поле в левой части равенства — это либо Е, либо Е в зависимости от того, где находится точка интеграл же берется только по правой стороне поверхности

Наиболее часто встречается случай проводящей поверхности с отверстиями. Граничные условия на идеально проводящей поверхности имеют вид однако . При вычислении поверхностного интеграла (9.78) было бы желательно интегрировать только по отверстиям, а не по всей поверхности. Первый член в (9.78) в случае идеально проводящего экрана отличен

от нуля только на отверстиях. Попытаемся выбрать поля в области так, чтобы оставшиеся члены обращались в нуль на всей поверхности Очевидно, следует потребовать выполнения соотношений

Конечно, поля Е, В должны удовлетворять уравнениям Максвелла и условиям излучения в области если Е, В удовлетворяют им в области II. Легко видеть, что требования (9.79) на поверхностях удовлетворяются, если Е и В связаны соотношениями

где точка является зеркальным изображением точки в плоскости . При переходе от точек к зеркально сопряженным точкам знак тангенциальной составляющей электрического поля и нормальной составляющей магнитного поля меняется на обратный, а знак нормальной составляющей электрического поля и тангенциальной составляющей магнитного поля остается прежним.

Подставляя (9.80) в (9.78), мы приходим к простому выражению для поля через интеграл по плоскости ограничивающей область

где (n X Е) — тангенциальная составляющая электрического поля на поверхности единичный вектор нормали, направленный внутрь области — функция Грина (9.66). Поскольку , соотношение (9.81) может быть представлено и в другой форме:

Для дифракционной системы, представляющей собой идеально проводящий экран с отверстиями, интеграл по сводится к интегралам только по площади отверстий. Формулы (9.81) и (9.82) будут точными,

если в них подставить правильное значение тангенциальной составляющей Е в отверстии экрана. Однако практически подставляется некоторое приближенное значение поля в отверстии. Для плоского проводящего экрана нужно аппроксимировать только тангенциальную составляющую электрического поля, причем граничные условия на экране выполняются автоматически [как можно проверить, исходя непосредственно из (9.82)].