§ 6. Функция Грина для волнового уравнения

Волновые уравнения (6.37), (6.38) и (6.52) имеют одинаковую структуру

где дает распределение источников, а с представляет собой скорость распространения волн в пространстве.

Для решения уравнения (6.54), так же как в электростатике, полезно найти сначала функцию Грина. Поскольку теперь поля зависят и от времени, функция Грина будет зависеть от переменных и должна удовлетворять уравнению

Решение уравнения (6.54) в неограниченном пространстве без граничных поверхностей выражается через G интегралом

Нужно, конечно, потребовать, чтобы функция Грина удовлетворяла определенным граничным условиям, которые задаются физическими требованиями.

Основная функция Грина удовлетворяющая уравнению (6.55), зависит только от разностей координат и времен (t — t). Для нахождения G представим обе части уравнения (6.55) в виде интегралов Фурье. Дельта-функцию в правой части можно представить следующим образом:

Соответственно запишем функцию G в виде

Функцию легко определить, подставляя (6.57) и (6.58) в уравнение (6.55). При этом получаем

При подстановке в (6.58) и последующем интегрировании по к и мы сталкиваемся с особенностью подынтегрального выражения при Решение (6.59) имеет смысл только в том случае, если мы знаем правила обращения с этой особенностью. Математически мы не можем получить такие правила, мы должны прийти к ним из физических соображений.

Функция Грина, удовлетворяющая уравнению (6.55), представляет собой волновое возмущение, вызванное точечным источником, находящимся в точке и излучающим только в течение бесконечно малого интервала времени при Мы знаем, что такое волновое возмущение распространяется со Скоростью с в виде расходящейся сферической волны. Следовательно, необходимо потребовать, чтобы наше решение для G обладало следующими свойствами :

а) G = 0 везде при с

б) G представляет собой расходящуюся волну при

При выполнении интегрирования в выражении (6.58) по мы сталкиваемся с особенностью функции в точках Мы можем представить интеграл по в виде интеграла Коши по комплексной плоскости Для интеграл вдоль действительной оси в (6.58) эквивалентен контурному интегралу по изображенному на фиг. 6.4 контуру С, замкнутому в нижней полуплоскости, так как интеграл по полуокружности экспоненциально стремится к нулю. Аналогично при контур интегрирования можно замкнуть в верхней полуплоскости контуром С (фиг. 6.4).

Чтобы функция G обращалась в нуль при должны предположить, что полюса смещены вниз от действительной оси (фиг. 6.4). При этом интеграл по контуру С (для ) будет отличен от нуля, в то время как интеграл по контуру С (для обратится в нуль. Смещение полюсов можно выразить математически, заменив в (6.59) со величиной со Тогда функция Грина принимает вид

где положительная бесконечно малая величина.

Интегрирование по со при производится с помощью теоремы Коши по контуру С (см. фиг. 6.4) и дает

Интегрирование по произведем сначала по углам; это дает

Поскольку подынтегральное выражение является четной функцией интегрирование здесь можно распространить на весь интервал —

Фиг. 6.4. Комплексная плоскость со с контуром С для t t и контуром

Заменяя переменную k на мы можем представить (6.62) в виде

Согласно (2.52), эти интегралы выражаются через -функции Дирака. Аргумент второй -функции никогда не обращается в нуль (вспомним, что ). Таким образом, вклад в G дает только первый интеграл, и функция Грина оказывается равной

или, более подробно,

Эта гриновская функция иногда называется запаздывающей функцией Грина, что отражает естественную причинную последовательность при распространении волнового возмущения: эффект, наблюдаемый в точке в момент времени вызывается возмущением, которое произошло в точке в более раннее (так называемое запаздывающее) время

Решение волнового уравнения (6.54) в отсутствие границ имеет вид

Производя интегрирование по мы получаем так называемое запаздывающее решение

Квадратные скобки означают, что в качестве V должно быть взято запаздывающее время