§ 9. Дифракция на малых отверстиях

Как мы видели, для больших апертур или коротких длин волн дифрагированные поля хорошо описываются приближенным методом, в котором тангенциальная составляющая электрического поля в отверстии заменяется ее невозмущенным значением для падающего поля.

Для больших длин волн это приближение дает гораздо менее удовлетворительные результаты. В том случае, когда размеры отверстия малы по сравнению с длиной волны, необходим совершенно другой подход.

Рассмотрим тонкую плоскую идеально проводящую пластину с малым отверстием в ней. Будем считать, что размеры отверстия очень малы по сравнению с длиной волны электромагнитного поля, имеющегося с одной стороны от пластины. Нашей задачей является нахождение дифрагированного поля по другую сторону пластины. Поскольку пластина плоская, то применима простая векторная теорема (9.82). Очевидно, для решения задачи достаточно определить электрическое поле в плоскости отверстия.

Фиг. 9.12.

Бете (1942 г.) заметил, что поля в окрестности малого отверстия могут быть получены статическими или квазистатическими методами. В отсутствие отверстия электромагнитное поле вблизи проводящей плоскости на одной ее стороне имеет только нормальную составляющую электрического поля и тангенциальную составляющую магнитного поля тогда как на другой стороне полей вообще нет. Употребляя выражение «вблизи проводящей плоскости», мы подразумеваем расстояния, которые малы по сравнению с длиной волны. Если теперь прорезать в плоскости небольшое отверстие, то поля в окрестности отверстия изменятся и будут проникать через него на другую сторону. Однако на больших расстояниях от отверстия (больших по сравнению с его размерами) поля «вблизи проводящей плоскости» будут такими же, как и в отсутствие отверстия, а именно будет перпендикулярно, а — параллельно к плоскости. Линии электрического поля будут иметь вид, показанный на фиг. 9.12. Так как поля Е и В отличаются от их невозмущенных значений только в области, размеры которой малы по сравнению с длиной волны, то задача определения Е и В вблизи отверстия сводится к задаче электростатики или магнитостатики (если отвлечься от синусоидальной зависимости

от времени вида Для электрического поля это стандартная задача нахождения распределения потенциала при известной «асимптотической» величине Е на обеих сторонах идеально проводящей пластины, служащей эквипотенциальной поверхностью. Аналогично магнитное поле В должно быть найдено по заданным асимптотическим величинам, равным на одной стороне и нулю на другой стороне поверхности, и условию отсутствия нормальной составляющей на поверхности. После этого можно определить электрическое поле, обусловленное изменением во времени магнитного поля В, и, сложив его с «электростатическим» электрическим полем, найти полное электрическое поле вблизи отверстия.

Например, для случая круглого отверстия радиусом а, малым по сравнению с длиной волны, тангенциальная составляющая электрического поля в плоскости отверстия оказывается равной

    (9.114)

где — амплитуда нормальной составляющей электрического поля в отсутствие отверстия, — тангенциальная составляющая магнитного поля в отсутствие отверстия, — единичный вектор нормали, направленный в дифракционную область [как в (9.82)], радиус-вектор в плоскости отверстия, проведенный из его центра. Найденное в статическом приближении поле (9.114) позволяет сразу определить дифракционные поля с помощью формулы (9.82). Этот расчет для круглого отверстия отнесен нами к задачам в конце главы (см. задачи 9.10 и 9.11).