§ 6. Динамическая модель пинч-эффекта

Простое рассмотрение, проведенное в настоящей главы, применимо в статическом или квазистатическом случае. В действительности

такие условия не реализуются. Обычно сначала давление плазмы слишком мало, чтобы противостоять внешнему магнитному давлению. Из-за этого радиус плазменного цилиндра уменьшается, т. е. происходит сжатие плазменного столба (пинч-эффект). Таким образом достигается желаемый результат — отжатие плазмы от ограничивающих ее стенок. Если бы сжатый плазменный столб был устойчив в течение достаточно длительного времени, то плазму можно было бы нагреть до очень высокой температуры, не повредив при этом стенок камеры.

Фиг. 10.6. Плазменный столб внутри полого цилиндрического проводника.

Розенблют предложил простую модель процесса сжатия учитывающую его динамический характер. Предположим, что плазма создана в полом проводящем цилиндре радиусом и длиной . К концам цилиндра приложена разность потенциалов V, так что по плазме течет ток Ток создает азимутальное магнитное поле заставляющее плазму сжиматься. Радиус плазменного столба в момент времени мы обозначим через R (t). Проводимость плазмы будем считать бесконечной. При этом ток течет по поверхности плазмы, а магнитное поле

    (10.47)

имеется только в области между . В соответствии с предположением о бесконечной проводимости электрическое поле на поверхности плазмы в движущейся системе отсчета, в которой эта поверхность покоится, обращается в нуль

    (10.48)

Применяя закон индукции Фарадея к показанному пунктирными лйнйяйи на фиг. 10.6 контуру, внутренняя сторона которого движется вместе с поверхностью плазмы, мы видим, что вклад в

линейный интеграл от Е дает только внешняя сторона контура, находящаяся в проводящей стенке. Таким образом,

Это уравнение выражает обычную индуктивную связь между током, напряжением и размерами, определяющимц индуктивность. Его интеграл имеет вид

    (10.50)

где — приложенное электрическое поле. Функция считается известной и нормируется таким образом, чтобы величина была равна максимальному значению приложенного поля. Чтобы продвинуться дальше, мы должны найти динамическую связь между током и радиусом плазмы

Необходимая зависимость получается из уравнения баланса импульсов, т. е. из второго закона Ньютона. Однако прежде необходимо сделать некоторые предположения относительно плазмы. Если бы длина свободного пробега между столкновениями была мала по сравнению с радиусом, то динамическое поведение плазмы определялось бы гидродинамическими ударными волнами. Однако для горячей и разреженной плазмы длина свободного пробега обычно сравнима или даже больше радиуса. В этом случае более подходящей является модель частиц, свободно движущихся внутри плазмы.

Если скорость границы плазмы R значительно больше тепловых скоростей, то в системе отсчета, где эта граница неподвижна, каждая частица движется к границе со скоростью R. Частица, проникнувшая во внешнюю область, под действием магнитного поля поворачивает обратно и покидает поверхность со скоростью - R. Поэтому каждая частица, столкнувшаяся с границей плазмы, приобретает импульс Число столкновений на единицу поверхности в единицу времени равно NR, где N — начальное число частиц в единице объема. Следовательно, скорость изменения импульса (т. е. давление) дается выражением

    (10.51)

где q — начальная плотность. На границу плазмы действует магнитное давление обусловленное скачком магнитного поля от нуля внутри плазмы до величины В вне плазмы. Оно должно уравновешивать давление плазмы. Это позволяет с учетом (10.47)

найти связь тока со скоростью границы плазмы:

    (10.52)

При выводе (10.52) мы весьма упрощенно считали, что каждая частица сталкивается с границей раздела только один раз. В действительности скорость границы раздела все время растет, так что поверхность догоняет также и ранее отразившиеся от нее частицы и снова нагревает их. Этот эффект можно приближенно учесть с помощью модели «снегоочистителя», в которой предполагается, что поверхность раздела увлекает с собой все вещество, на которое она надвигается по мере движения. При этом магнитное давление и скорость изменения импульса связаны уравнением

    (10.53)

в котором — масса, увлекаемая «снегоочистителем»:

    (10.54)

Отсюда получается соотношение между током и радиусом

    (10.55)

В начальной стадии, когда модель «снегоочистителя» и модель свободных частиц приводят к одинаковым зависимостям тока от радиуса, различающимся лишь множителем . По порядку величины обе модели дают один и тот же результат и для более поздних моментов времени.

Уравнение движения для можно получить, подставляя из (10.52) или из (10.55) в соотношение (10.50). Выбирая для примера модель свободных частиц, находим

    (10.56)

Здесь знак квадратного корня определяется требованием Для решения этого уравнения необходимо знать Некоторые свойства решения можно определить, перейдя к безразмерным

переменным

Тогда (10.56) запишется в виде

    (10.58)

Для модели «снегоочистителя» соответствующее уравнение имеет вид

    (10-59)

Даже не решая этих уравнений, можно сказать, что существенно изменяется на интервале . Это означает, что по порядку величины радиальная скорость сжатия равна

Такой результат получается при любой динамической модели, в том числе гидродинамической. Для «быстрых пинчей» в небольших установках с водородной и дейтериевой плазмой типичные значения приложенного электрического поля составляют около в/см, а начальной плотности — около дейтронов в При этом оказывается величиной порядка 107 см а протекающий ток, согласно (10.52) или (10.55), равен

где F — безразмерная функция порядка единицы. Для трубки радиусом 10 см при описанных выше условиях ток составляет .

Предыдущее рассмотрение пинч-эффекта, очевидно, применимо только для короткого интервала времени после включения тока. Наша упрощенная модель показывает, что за время порядка радиус плазменного столба обращается в нуль. Ясно, однако, что, прежде чем это случится (даже приближенно), характер процесса изменится. В гидродинамическом приближении радиальные ударные волны, вызванные сжатием, отразятся от оси и, распространяясь обратно, будут замедлять движение границы или даже изменять направление ее движения на обратное. Это — так называемая

пульсация плазменного столба. Она, очевидно, имеет место и в модели свободных частиц. Поэтому общая зависимость радиуса от времени будет иметь вид, изображенный на фиг. 10.7.

Фиг. 10.7. Изменение радиуса плазменного столба со временем с момента включения тока. Характерная скорость сжатия определяется выражением (10.60).

Хотя для последующих пульсаций соответствующий анализ не проведен, естественно предположить, что радиус приближается к некоторому стационарному значению, меньшему чем