§ 9. Рассеяние электромагнитных волн на проводящей сфере

При падении плоской электромагнитной волны на сферическое препятствие (фиг. 16.5) она рассеивается, так что вдали рассеивающего тела поле представляется суммой плоской волны и расходящихся сферических волн. Препятствие может не только рассеивать, но и поглощать. В этом случае полный поток энергии от препятствия будет меньше полного потока по направлению к нему; разность потоков равна поглощаемой энергии. Мы рассмотрим простейший пример рассеяния на идеально проводящей сфере радиусом а.

Фиг. 16.5. Рассеяние плоской электромагнитной волны на препятствии.

Представим электромагнитные поля вне сферы в виде суммы падающей и рассеянных волн:

где описываются выражениями (16.139). Так как в бесконечности поля рассеяния представляют собой расходящиеся волны, их разложение должно иметь вид

Коэффициенты разложения определяются граничными условиями на поверхности сферы.

Для идеально проводящей сферы граничные условия на поверхности имеют вид

    (16.142)

Для применения этих граничных условий следует уточнить характер векторных слагаемых в разложениях (16.141). Как известно, векторы перпендикулярны радиусу-вектору. Что касается

векторных слагаемых другого типа, то они пропорциональны

    (16.143)

где — произвольная сферическая функция Бесселя, удовлетворяющая уравнению (16.5). Накладывая на полное поле (16.140) граничные условия (16.142), находим условия, которым должны удовлетворять коэффициенты

Заметим, что для обоих типов круговой поляризации коэффициенты одинаковы. Учитывая равенство можно записать коэффициенты разложения в виде

    (16.145)

Входящие сюда отношения представляют собой частные двух комплексно сопряженных величин и, следовательно, являются комплексными числами, равными по модулю единице. Удобно ввести два угла, называемые обычно фазовыми сдвигами, определив их равенствами

    (16.146)

или эквивалентными соотношениями

    (16.147)

Коэффициенты разложения принимают при этом вид

    (16.148)

Предельные значения введенных фазовых сдвигов при можно найти с помощью приближенных выражений

(16.12) и асимптотических выражений (16.13):

    (16.149)

Коэффициент разложения и фазовый сдвиг можно назвать магнитными параметрами, так как они относятся к магнитным мультипольным полям в разложениях (16.141). Аналогично можно назвать электрическими параметрами.

Магнитное поле рассеянной волны с учетом выражений (16.148) для коэффициентов преобразуется к виду

    (16.151)

Асимптотически при

Рассеянное поле (16.152) обладает в общем случае эллиптической поляризацией. Лишь в том случае, когда и равны между собой, излучение будет поляризовано по кругу. Таким образом, при падении линейно поляризованного излучения рассеянное излучение будет поляризовано эллиптически. Если же падающее излучение не поляризовано, то рассеянное излучение будет все равно обладать частичной поляризацией, зависящей от угла наблюдения.

При рассмотрении интенсивности рассеянного поля удобно пользоваться понятием сечения рассеяния. Оно уже было определено ранее соотношением (14.101). Мощность, рассеиваемая в единицу телесного угла, равна

а поток энергии падающей волны

    (16.154)

Следовательно, для сечения рассеяния получаем

    (16.155)

Найденная угловая зависимость излучения весьма сложна и упрощается лишь в предельном случае больших длин волн (см. ниже). Однако полное сечение рассеяния можно вычислить непосредственно. Как видно из второго соотношения (16.132) и формулы (16.143), перекрестные члены в (16.155) при интегрировании по углам обращаются в нуль. В результате для полного сечения рассеяния нетрудно получить выражение

    (16.156)

Мы видим, что в полном сечении рассеяния поля электрических и магнитных мультиполей складываются некогерентным образом.

В длинноволновом пределе выражение для сечения рассеяния становится относительно простым, так как фазовые сдвиги (16.149) быстро убывают с ростом I. Сохраняя лишь члены разложения с находим

    (16.157)

Согласно таблице на стр. 605,

    (16.158)

Перекрестные произведения также легко могут быть вычислены

Окончательно для дифференциального сечения рассеяния в длинноволновом приближении имеем

    (16.160)

Это выражение не зависит от типа поляризации падающего поля. Угловое распределение рассеянного излучения показано на фиг. 16.6. Рассеяние происходит главным образом в направлении, противоположном направлению падающей волны; заметная асимметрия относительно нормали к направлению падения обусловлена интерференцией полей электрического и магнитного дипольных моментов.

Фиг. 16.6. Угловое распределение излучения, рассеянного на идеально проводящей сфере, в длинноволновом приближении

Полное сечение рассеяния в приближении больших длин волн оказывается равным

    (16.161)

Этот известный результат впервые был получен Дебаем и Ми (1908-1909 гг.). Зависимость сечения рассеяния от четвертой степени частоты, известная как закон рассеяния Рэлея, характерна для всех систем, обладающих дипольным моментом.