ЗАДАЧИ

11.1. На фиг. 11.15 изображен один из возможных вариантов часов. Они состоят из лампы-вспышки F и фотоэлемента Р, экранированного таким образом, что он реагирует только на свет, идущий от зеркала М, расположенного на расстоянии d и жестко скрепленного с системой лампа — фотоэлемент. Внутри ящика расположено электронное устройство, которое в тот момент, когда фотоэлемент отзывается на вспышку света от зеркала, включает (с пренебрежимо малым временем запаздывания) лампу-вспышку, посылающую к зеркалу короткий импульс света. Такие часы «тикают» с интервалом сек в системе координат, в которой они покоятся.

а) Предположим, что часы движутся относительно наблюдателя с постоянной скоростью v, перпендикулярной направлению от PF к М. Используя второй постулат относительности, путем прямого геометрического или

алгебраического расчета показать, что при движении часов наблюдатель заметит релятивистское замедление времени.

б) Предположим, что часы движутся со скоростью v параллельно направлению от PF к М. Проверить, что при этом наблюдаемый интервал тиканья часов также удлиняется, причем в том же отношении, что и в п.

Фиг. 11.15.

11.2. а) Показать, что два последовательных преобразования Лоренца в одном и том же направлении перестановочны и эквивалентны одному преобразованию Лоренца для относительной скорости

Это один из возможных путей вывода закона сложения параллельных скоростей.

б) Показать, что два последовательных преобразования Лоренца во взаимно перпендикулярных направлениях в -направлении, в у-направлении) не перестановочны. Показать также, что в каком бы порядке ни применялись эти преобразования, результат не будет совпадать с единичным преобразованием с Указать одно или несколько простых соображений, из которых вытекает необходимость этого результата в специальной теории относительности.

11.3. а) Найти вид волнового уравнения в системе если в системе К оно имеет обычную форму, а обе системы координат связаны преобразованием Галилея:

б) Показать непосредственным преобразованием, что форма волнового уравнения в системах К и К! одинакова, если координаты связаны преобразованием Лоренца:

11.4. Координатная система К движется со скоростью v относительно другой системы К. В системе К частица имеет скорость и и ускорение а. Найти закон лоренцовского преобразования ускорений и показать, что

в системе К составляющие ускорения, параллельная и перпендикулярная v, имеют вид

11.5. Предположим, что ракетный корабль покидает Землю в 2000 г. Пилот ракеты родился в 1980 г. Ракетный корабль устроен таким образом, что он в собственной системе координат имеет ускорение g (при этом пассажиры чувствуют себя «как дома»). Двигаясь в прямом направлении, корабль ускоряется 5 лет (по своим часам), затем замедляется с таким же ускорением в течение следующих 5 лет, после чего начинает двигаться обратно, также 5 лет ускоряясь и 5 лет замедляясь, и, наконец, попадает на Землю. Пилоту ракеты исполнилось к этому моменту 40 лет.

а) В каком году ракетный корабль вернулся на Землю?

б) Как далеко он удалялся от Земли?

11.6. В системе отсчета К два спринтера почти одинаковой силы стартуют с оси у из положений, расположенных на расстоянии d друг от друга, бегут вдоль оси Два стартера, находящиеся каждый возле своего бегуна, стреляют из своих стартовых пистолетов в слегка различные моменты времени, давая преимущество более слабому из двух бегунов. Разница времен стартов в системе К равна Т.

а) Для какого интервала времени Т найдется система отсчета К, в которой ни у одного из спринтеров нет преимущества, и для какого интервала времени Т существует система в которой имеется действительное (не кажущееся) преимущество?

б) Для обоих указанных в п. случаев провести в явном виде преобразование к найденной системе К и определить скорость системы К относительно К у а также координаты каждого из спринтеров в системе К -

11.7. Используя четырехмерную форму теоремы Грина, решить неоднородное волновое уравнение

а) Показать, что -вектор-потенциал для ограниченного распределения - зарядов и токов имеет вид

где означает

б) Исходя из определения напряженностей поля показать, что

где

11.8. Трехмерная формулировка задачи излучения приводит к запаздывающему решению

где Показать связь этого решения с решением, полученным в задаче 11.7, выполнив в последнем интегрирование по

11.9. Точечному покоящемуся магнитному моменту соответствует векторный потенциал

и нулевой скалярный потенциал. Показать, что если магнитный момент движется со скоростью то появляется электрический дипольный момент , совмещенный с магнитным и равный

Что можно сказать о случае, когда скорость v не мала по сравнению с с? Показать, что энергия взаимодействия движущегося диполя с полями Е и В та же, что и получаемая путем расчета магнитного поля в системе, где магнитный момент неподвижен.

11.10. а) Показать, что величина инвариантна относительно преобразований Лоренца. Как записать ее в четырехмерных обозначениях?

б) Символ определяется следующими свойствами:

Таким образом, представляет собой полностью антисимметричный единичный тензор четвертого ранга (точнее говоря, это псевдотензор относительно пространственной инверсии). Доказать, что величина (где подразумевается суммирование по одинаковым индексам) является лоренц-инвариантом, и найти ее выражение через поля Е и В.

11.11. В некоторой покоящейся системе отсчета однородное статическое электрическое поле параллельно оси а однородное статическое магнитное поле лежит в плоскости и направлено под углом к оси Определить относительную скорость системы отсчета, в которой электрическое и магнитное поля параллельны. Каковы поля в этой системе отсчета при

11.12. Показать, что выражение для силы можно представить в виде

где

11.13. Импульс электромагнитного излучения имеет ограниченные размеры и распространяется в пространстве без зарядов и токов.

а) С помощью теоремы непрерывности в четырехмерном пространстве доказать, что полный импульс и энергия электромагнитного поля преобразуются как 4-вектор.

б) Показать, что для плоской волны этот 4-вектор имеет нулевую «длину», но что для других возможных конфигураций полей (например, для расходящейся сферической волны) это не так.