§ 5. Векторный потенциал и магнитная индукция кругового витка тока

В качестве примера расчета магнитного поля данного распределения токов рассмотрим задачу о расположенном в плоскости круговом витке тока радиусом а с центром в. начале координат, по которому течет полный ток I (фиг. 5.5). При этом вектор плотности

тока J имеет единственную отличную от нуля составляющую

Наличие -функций соответствует распределению тока лишь вдоль окружности радиусом а.

Фиг. 5.5.

Если J имеет лишь -составляющую, то и векторный потенциал А имеет лишь составляющую в направлении Однако эту составляющую нельзя вычислить непосредственно, подставляя в (5.32). Соотношение (5.32) справедливо лишь для декартовых составляющих

Составляющие J в прямоугольных координатах имеют вид

В силу цилиндрической симметрии задачи можно при вычислениях выбрать точку наблюдения в плоскости При этом, очевидно, х-составляющая векторного потенциала равна нулю

и остается лишь -составляющая, равная Таким образом,

где

Найдем сначала непосредственно вычислив интеграл (5.35). Используя свойства -функции, мы придем к следующему результату:

Полученный интеграл можно выразить через полные эллиптические интегралы К и Е:

где аргумент эллиптических интегралов определяется выражением

Составляющие вектора магнитной индукции, равные

также могут быть выражены через эллиптические интегралы, однако получающиеся выражения не обладают достаточной наглядностью (хотя и полезны для вычислительных целей).

При малых соответствующих или выражение в квадратных скобках в (5.37) сводится к Векторный потенциал оказывается при этом приближенно равным

Соответствующие выражения для составляющих поля имеют вид

Эти выражения легко упростить для трех областей: вблизи оси вблизи центра витка и вдали от витка Особенный интерес представляет поле вдали от витка:

Сравнение с электростатическим полем диполя (4.12) показывает, что магнитное поле вдали от кругового витка тока имеет дипольный характер. По аналогии с электростатикой определим магнитный дипольный момент витка выражением

В следующем параграфе будет показано, полученное соотношение является частным случаем общего результата: поле ограниченного распределения токов на больших расстояниях имеет дипольный характер; магнитный момент плоского замкнутого линейного тока равен произведению площади ограниченной током части плоскости на

Хотя мы нашли полное решение задачи, выразив поле через эллиптические интегралы, решим ту же задачу с помощью разложения по сферическим гармоникам, что позволит выявить сходство и различие магнитостатической и электростатической задач. Для этого обратимся снова к выражению (5.35) и подставим вместо величины ее разложение (3.70) по сферическим гармоникам

Наличие множителя в подынтегральном выражении означает, что отличны от нуля лишь слагаемые с Следовательно,

где — соответственно меньшая и большая из величин а и .

Величина в квадратных скобках — это число, зависящее от номера

Таким образом, можно представить в виде

где а коэффициент члена суммы с по определению, равен единице. Для вычисления радиальной составляющей вектора В согласно (5.38) воспользуемся равенством

В результате получим

Совершенно аналогично для составляющей найдем

где верхнее выражение в фигурных скобках соответствует а нижнее При существен лишь член с При этом в силу равенства выражения (5.48) и (5.49) сводятся к (5.41). Для основной вклад в сумму также дает член с Магнитная индукция оказывается при этом равной и направленной вдоль оси z; этот результат можно было бы получить и элементарным расчетом.

Укажем на характерное отличие рассмотренной проблемы от соответствующей электростатической задачи с цилиндрической симметрией. В проведенном анализе наряду с обычными полиномами Лежандра встречаются и присоединенные функции Лежандра. Это обусловлено векторным характером тока и векторного потенциала

в противоположность скалярным свойствам заряда и электростатического потенциала.

Задачу о линейном круговом токе можно решать и с помощью разложения по цилиндрическим функциям. Тогда для вместо представления (3.70) следует использовать соответствующие разложения по цилиндрическим функциям (3.148) и (3.149). Применение этого метода к расчету поля кругового линейного тока мы отнесем к задачам. Применение цилиндрических функций вообще полезно при произвольном распределении тока, имеющего лишь -составляющую.