§ 5. Пинч-эффект

Удержание плазмы или проводящей жидкости ее собственным магнитным полем представляет значительный интерес для проблемы управляемых термоядерных реакций, а также для других приложений. Для примера рассмотрим бесконечный цилиндр проводящей жидкости, по которому течет продольный ток с плотностью

создающий азимутальное магнитное поле Для простоты будем считать, что плотность тока, магнитное поле, давление и т. п. зависят только от расстояния от оси цилиндра, а вязкость и гравитационные эффекты пренебрежимо малы. Рассмотрим сначала, возможно ли стационарное состояние, при котором плазма удерживается в основном внутри цилиндра с некоторым радиусом за счет своего собственного магнитного поля. Для стационарного состояния с уравнение движения жидкости (10.23) принимает вид

Закон Ампера в интегральной форме связывает с током, протекающим по окружности радиусом :

    (10.38)

Целый ряд результатов можно получить без конкретизации вида зависимости используя лишь такие физические требования, как конечность и т. п. Из закона Амцера следует, что если жидкость находится почти целиком внутри цилиндра , то магнитное поле вне жидкости равно

    (10.39)

где величина

представляет собой полный ток, протекающий внутри цилиндра. Уравнение (10.37) можно переписать в виде

или в проинтегрированном виде

    (10-41)

Здесь - давление жидкости на оси цилиндра . Если вещество сосредоточено в цилиндре , то при давление равно нулю. Следовательно, давление на оси запишется следующим

образом:

Верхний предел интеграла можно заменить на бесконечность, поскольку, согласно (10.39), подынтегральное выражение при равно нулю. Подставляя (10.42) в (10.41), получаем

При произвольной зависимости давления от радиуса среднее давление внутри цилиндра можно связать с полным током и радиусом цилиндра R. Действительно, интегрируя по частям выражение для среднего давления

и используя (10.40), получаем соотношение

    (10.45)

связывающее среднее давление, полный ток и радиус цилиндра жидкости или плазмы, удерживаемой собственным магнитным полем. Заметим, что среднее давление вещества оказывается равным магнитному давлению на поверхности цилиндра. В термоядерных исследованиях рассматривается горячая плазма с температурой порядка и плотностью частиц порядка При этих условиях давление приближенно равно , или 14 атм. Для удержания такой плазмы требуется магнитное поле на поверхности порядка гаусс, что соответствует току . Отсюда видно, что для удержания горячей плазмы необходимы очень большие токи.

До сих пор мы не рассматривали радиального распределения характеристик жидкости. Мы ограничимся для иллюстрации двумя простыми примерами. Пусть сначала плотность тока постоянна при . Тогда при и выражение (10.43) приводит к параболическому распределению давления в зависимости от радиуса

    (10.46)

При этом давление на оси равно удвоенному среднему давлению Радиальные зависимости этих величин схематически показаны на фиг. 10.4.

В качестве второго примера рассмотрим цилиндр с током, текущим в очень тонком поверхностном слое, что соответствует жидкости или плазме с большой проводимостью.

Фиг. 10.4. Радиальная зависимость азимутального магнитного поля и давления в цилиндрическом плазменном столбе при однородной плотности продольного тока.

Магнитное поле вне цилиндра определяется выражением (10.39), а внутри цилиндра равно нулю. В этом случае давление внутри вещества постоянно и равно значению (10.45). Соответствующие распределения показаны на фиг. 10.5.

Фиг. 10.5. Радиальная зависимость азимутального магнитного поля и давления в цилиндрическом плазменном столбе с поверхностным током.