§ 5. Источники мультипольного излучения. Мулътипольные моменты

После того как рассмотрены свойства полей мультиполей, найдено угловое распределение излучения, найдена величина энергии излучения и момента количества движения, обратимся к установлению связи между полями и создающими их источниками. Пусть имеется ограниченное распределение заряда тока и вектора намагниченности . Будем, кроме того, считать, что все временные зависимости могут быть разложены в ряд или интеграл Фурье, и ограничимся рассмотрением источников, гармонически меняющихся во времени:

    (16.76)

(подразумевается, что мы берем действительную часть от соответствующих комплексных величин). Более общая зависимость от времени может быть получена линейной суперпозицией.

Так как мы рассматриваем случай, когда плотность намагниченности отлична от нуля, следует различать векторы В и Н. Уравнения Максвелла в случае гармонических источников записываются в виде

а уравнение непрерывности имеет вид

    (16.78)

Чтобы воспользоваться полученным выше представлением (16.47) общего решения однородных уравнений Максвелла, запишем уравнения относительно полей

    (16.79)

При этом мы придем к следующим двум системам уравнений, аналогичным системам (16.33) и (16.34):

и

Для областей вне источников эти системы уравнений переходят, очевидно, в (16.33) и (16.34). Следовательно, общее решение для векторов В и Е вне источников имеет вид (16.47). Далее, даже в областях, содержащих источники, дивергенция обоих рассматриваемых полей равна нулю. Поэтому и здесь решения будут иметь вид (16.47) с той разницей, что изменится лишь вид радиальных функций подобно тому как это имеет место в скалярных задачах, например в электростатике или волновой механике. Рассмотрим, например, вектор магнитной индукции

    (16.82)

Вне источников в соответствии с (16.57) и

Чтобы определить уравнение, которому удовлетворяет радиальная функция для мультиполей электрического типа в области, содержащей источники, подставим (16.82) в первое из уравнений системы (16.80), умножим скалярно обе стороны уравнения на вектор и проинтегрируем по всем углам. В силу ортогональности все члены левой части уравнения, содержащие обращаются в нуль и остается лишь одно слагаемое, содержащее

    (16.84)

Подставляя аналогичное разложение для в первое уравнение системы (16.81) и проводя такие же вычисления, приходим к уравнению для функции

    (16.85)

Полученные неоднородные уравнения для можно решить методом функций Грина. Подходящая функция Грина, удовлетворяющая уравнению (16.20), определяется соотношением (16.21). Обозначив правую часть уравнения (16.84) через — можно представить в виде

    (16.86)

В области вне источников так что

    (16.87)

Путем сравнения полученного выражения с (16.83) мы можем определить коэффициент для мультиполя электрического типа. Подставляя в явном виде значение определяемое правой частью уравнения (16.84), получаем

    (16.88)

Аналогично для коэффициента для мультиполя магнит ного типа получим

    (16.89)

Выражения (16.88) и (16.89) можно преобразовать к более удобному виду с помощью тождества

    (16.90)

Здесь А — произвольный вектор с достаточно хорошими аналитическими свойствами, обращающийся на бесконечности в нуль быстрее, чем . Для доказательства тождества (16.90) выполним интегрирование по частям, в результате чего оператор ротора переносится на вектор применим операторное соотношение (16.49) и снова проинтегрируем по частям. Полагая А равным можно преобразовать различные слагаемые в формулах (16.88) и (16.89) и прийти к окончательным выражениям

и

    (16.91)

Полученные формулы дают точные выражения для мультипольных коэффициентов, справедливые для произвольной частоты и любых размеров источника.

Для многих приложений в атомной и ядерной физике размеры источника очень малы по сравнению с длиной волны . В этом случае выражения для мультипольных коэффициентов могут быть значительно упрощены. Для этого можно воспользоваться приближенными выражениями (16.12) для сферических функций Бесселя, справедливыми при малых значениях аргумента. Оставляя в разложениях лишь члены низшего порядка по в слагаемых, содержащих q, J и получаем, что коэффициент для мультиполя электрического типа приближенно равен

    (16.93)

где мультипольные моменты определяются равенствами

    (16.94)

Момент совпадает, очевидно, с выражением (4.3) для электростатического мультипольного момента Момент — наведенный электрический мультипольный момент, обусловленный наличием намагниченности. Величина его обычно по крайней мере в раз меньше момента

Выражение коэффициента для мультиполя магнитного типа в длинноволновом приближении имеет вид

    (16.95)

где магнитные мультипольные моменты определяются равенствами

    (16.96)

В противоположность электрическим мультипольным моментам для системы с отличной от нуля собственной намагниченностью магнитные моменты вообще говоря, имеют один порядок величины.

В предельном случае больших длин волн мультипольные поля электрического типа, очевидно, определяются плотностью электрического заряда q, а поля мультиполей магнитного типа — плотностями магнитных моментов .