§ 5. Ковариантные уравнения движения. Лагранжиан и гамильтониан для релятивистской заряженной частицы

В § 1 мы рассмотрели уравнения движения под действием силы Лоренца для нахождения трансформационных свойств импульса и энергии частицы. Однако мы в явном виде не проверили ковариантность уравнений движения для частицы, движущейся во внешних полях. Теперь мы установим эту ковариантность, а также введем лагранжиан, канонические импульсы и гамильтониан. Согласно уравнениям (12.2) и (11.129), уравнение движения частицы можно записать в виде

    (12.62)

где интегрирование производится по объему заряженной частицы. Если скорость частицы v, а ее полный заряд то

    (12.63)

где для . Это уравнение еще не является ковариантным, поскольку не является -вектором, так же как и . Последний недостаток можно исправить, если взять производные не по t, а по собственному времени (11.62). Так как то мы получаем

    (12.64)

Но теперь является -вектором (называемым иногда -скоростью), и мы приходим к ковариантной форме уравнения движения частицы

Это уравнение, относящееся к дискретной частице, является аналогом уравнения (11.129) для непрерывно распределенных зарядов и токов. Теперь, установив ковариантность уравнения движения частицы (12.65), мы можем записать его в пространственно-временной форме для любой системы отсчета:

Из (12.65) следует, что коль скоро все переменные преобразуются в соответствии с присущими им законами преобразования, то нековариантная форма (12.66) будет справедлива в произвольной лоренцовской системе координат.

Уравнения (12.65) или (12.66) полностью описывают движение заряженной частицы в произвольных внешних полях. Однако иногда более удобно использовать метод уравнений Лагранжа или Гамильтона. Нахождение лагранжиана для частицы, движущейся под действием силы Лоренца, мы начнем со случая свободной релятивистской частицы. Поскольку лагранжиан должен быть функцией скоростей и координат, запишем уравнение движения для свободной частицы в виде

    (12.67)

где Лагранжиан L должен быть выбран таким образом, чтобы уравнения движения Эйлера — Лагранжа

совпадали с ньютоновскими уравнениями движения. Легко убедиться, что для свободной частицы подходящим лагранжианом

является функция

    (12.69)

При подстановке в (12.68) этот лагранжиан приводит, очевидно, к уравнениям (12.67).

Чтобы получить лагранжиан свободной частицы более изящным способом, рассмотрим принцип Гамильтона, или принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу, движение механической системы таково, что при переходе от состояния а, соответствующего моменту времени к состоянию b, соответствующего моменту должен быть экстремален (в данном случае минимален) интеграл действия , определенный как интеграл по времени от лагранжиана вдоль пути системы:

    (12.70)

Рассматривая малые вариации выбранного пути и налагая условие мы придем к уравнениям движения Эйлера — Лагранжа (12.68). Для нахождения лагранжиана свободной частицы мы используем теперь лоренц-инвариантность интеграла действия. Лоренц-инвариантность интеграла действия следует из первого постулата относительности, поскольку уравнения движения определяются требованием его экстремальности. При введении собственного времени интеграл действия принимает вид

    (12.71)

Поскольку собственное время лоренц-инвариантно, то условие лоренц-инвариантности А приводит к требованию лоренц-инвариантности . Это требование является общим для любого лагранжиана. Для свободной частицы LCB может быть функцией только скорости частицы (и, возможно, ее массы). Единственной лоренц-инвариантной величиной, содержащей скорость, является произвольная функция от скалярного произведения ) где есть -импульс частицы. Поскольку мы видим, что для свободной частицы является постоянной величиной

    (12.72)

Таким образом, для свободной частицы интеграл действия пропорционален интегралу от собственного времени по пути от начальной пространственно-временной точки а до конечной пространственно-временной точки . Этот интеграл является лоренц-инвариантом,

но зависит от выбранного пути. Для удобства расчета рассмотрим систему отсчета, в которой частица в начальный момент покоится. Из определения собственного времени (11.62) ясно, что если частица в этой системе находится в состоянии покоя, то интеграл по собственному времени будет больше, чем при ее движении с любой отличной от нуля скоростью вдоль некоторой траектории. Следовательно, для прямой мировой линии, соединяющей начальную и конечную точки пути, интеграл от собственного времени максимален, что с учетом отрицательного знака в (12.72) соответствует минимуму интеграла действия. Сравнение с уравнением Ньютона для нерелятивистского движения показывает, что Это приводит к лагранжиану для свободной частицы (12.69).

Общее требование лоренц-инвариантности величины позволяет определить лагранжиан для релятивистской заряженной частицы во внешних электромагнитных полях при условии, что мы знаем лагранжиан (или уравнения движения) для нерелятивистского движения в статических полях. На медленно движущуюся заряженную частицу действует в основном электрическое поле, которое определяется скалярным потенциалом Ф. Потенциальная энергия взаимодействия есть . Так как нерелятивистский лагранжиан равен то часть релятивистского лагранжиана, соответствующая взаимодействию с электромагнитным полем, должна в нерелятивистском пределе сводиться к

    (12.73)

Теперь наша задача заключается в том, чтобы найти лоренц-инвариантное выражение для которое для нерелятивистских скоростей приводит к выражению (12.73). Поскольку Ф является четвертой составляющей -вектора-потенциала Аследует ожидать, что содержит скалярное произведение А на некоторый -век-тор. Таким -вектором может быть лишь вектор импульса или вектор координаты частицы. Так как произведение наряду с лоренц-инвариантностью должно обладать также и трансляционной инвариантностью, то оно не может явно содержать координат. Следовательно, лагранжиан взаимодействия имеет видг)

    (12-74)

где коэффициент при скалярном произведении выбран таким образом, чтобы при это выражение переходило в (12.73).

Комбинируя (12.69) и (12.74), получаем полный релятивистский лагранжиан заряженной частицы

Здесь верхнее выражение дает L в -векторной форме, а нижнее — в явной пространственно-временной форме. Мы предоставляем читателю убедиться самостоятельно, что лагранжиан (12.75) действительно приводит к уравнениям движения (12.66) заряженной частицы под действием силы Лоренца. При этом следует учесть, что материальная производная и воспользоваться обычными выражениями полей через потенциалы.

Канонический импульс Р, сопряженный с пространственной координатой определяется соотношениями

    (12.76)

Отсюда следует, что канонический импульс

    (12.77)

где — импульс частицы в отсутствие полей. Гамильтониан Н является функцией координаты и сопряженного импульса Р. Если лагранжиан не зависит явно от времени, то Н является интегралом движения. Гамильтониан выражается через лагранжиан следующим образом:

    (12.78)

где скорость v следует выразить через Р и Согласно (12.76) или (12.77),

При подстановке этого выражения в (12.78) и в (12.75) гамильтониан примет вид

Читатель может проверить, что уравнения движения Гамильтона эквивалентны обычным уравнениям движения (12.66) под действием силы Лоренца. Выражение (12.80) для гамильтониана дает также

полную энергию W частицы; оно отличается от энергии свободной частицы добавлением потенциальной энергии и заменой . В -векторной записи оба эти добавления сводятся к одному. Действительно, перенося в левую часть равенства (12.80) и возводя обе части равенства в квадрат, получаем

    (12.81)

Левая часть пропорциональна скалярному квадрату -вектора

    (12.82)

где

    (12.83)

Мы видим, что полная энергия W является четвертой составляющей канонически сопряженного -импульса с пространственной частью (12.77). Еще одна возможная формулировка уравнений движения с релятивистски инвариантным лагранжианом, зависящим от -скорости рассматривается в задаче 12.5. При этом канонический -импульс вводится весьма естественно.

Лагранжева и гамильтонова формулировки динамики заряженной частицы были приведены здесь по ряду причин. Во-первых, мы показали, что требование лоренц-инвариантности в совокупности с другими физическими требованиями является мощным орудием систематического построения лагранжиана, позволяющим найти динамические уравнения движения. Во-вторых, лагранжиан часто используется как исходный пункт при рассмотрении динамики частиц. Наконец, идеи и методы канонически сопряженных переменных оказываются весьма полезными при непосредственном решении уравнений движения.