§ 10. Разложение функций Грина в цилиндрических координатах
Другим полезным примером разложения функции Грина является представление потенциала единичного точечного заряда в цилиндрических координатах. Сначала рассуждения будут проводиться
в достаточно общем виде, чтобы можно было применить полученные соотношения для нахождения функций Грина в различных задачах с цилиндрической граничной поверхностью. Начнем с уравнения для функции Грина
(3.138)
Здесь 
-функция выражена в цилиндрической системе координат. Дельта-функции от 
можно выразить через систему ортонормированных функций:
(3.139)
Разложим аналогичным образом и функцию Грина
(3.140)
Подставляя эти разложения в (3.138), получаем уравнение для радиальной функции Грина 
При 
это уравнение совпадает с уравнением (3.98) для модифицированных функций Бесселя 
Пусть (Q) — некоторая линейная комбинация функций 
удовлетворяющая требуемым граничным условиям при 
(
-другая, линейно независимая комбинация, удовлетворяющая требуемым граничным условиям при 
Из условия симметрии функции Грина относительно q и q следует, что
(3.142)
Нормировка произведения определяется скачком производной в точке 
обусловленным 
-функцией в (3.141):
(3.143)
Здесь индексы ± соответствуют 
Из (3.142) следует, что
(3-144)
где штрихи обозначают дифференцирование по аргументу, а 
определитель Вронского (вронскиан) функций 
и Уравнение (3.141) принадлежит к уравнениям Штурма — Лиувилля
Как известно, вронскиан двух линейно независимых решений этого уравнения пропорционален 
Таким образом, условие (3.143) выполняется для всех значений q, если оно выполнено для какого-либо одного значения. Очевидно, мы должны нормировать функции 
так, чтобы вронскиан был равен
(3-146)
Если в задаче нет граничных поверхностей, то необходимо потребовать, чтобы функция 
была конечна при 
и стремилась к нулю при 
Это значит, что 
Постоянная А должна определяться из условия (3.146) для вронскиана. Поскольку вронскиан пропорционален 
для всех 
не играет роли, при каком значении 
мы его будем вычислять. Пользуясь предельными выражениями (3.102) и (3.103) для малых 
или же выражениями (3.104) для больших 
найдем, что
(3.147)
так что 
Таким образом, разложение для 
имеет вид
(3.148)
или, пользуясь только действительными функциями,
(3.149)
Это разложение позволяет получить целый ряд полезных математических соотношений. Если положить 
то останется
лишь член с 
и мы придем к интегральному соотношению
Если в (3.150) заменить 
на 
то слева будет стоять обратное расстояние 
для 
оно должно равняться правой части (3.149) при 
Приравнивая правые части соотношений (3.149) и (3.150) и учитывая, что равенство должно выполняться для всех значений z, получаем тождество
(3.151)
Из последнего соотношения можно, переходя к пределу 
получить разложение двумерной функции Грина в полярных координатах
К этому представлению двумерной функции Грина можно прийти и непосредственно из уравнения Пуассона, применяя тот же метод, которым было получено уравнение (3.148).
