§ 9. Нахождение потенциала с помощью разложений для сферических функций Грина

Общее решение уравнения Пуассона при заданных значениях потенциала на границе области (см. гл. 1, § 10) представляется в виде

    (3.126)

Рассмотрим для примера потенциал внутри сферы радиусом b. Прежде всего мы установим эквивалентность поверхностного интеграла в (3.126) с выражением, полученным приведенным ранее методом в § 4 [см. (3.61) и (3.58)]. Положив в (3.125), найдем нормальную производную при

    (3.127)

Отсюда следует, что решение уравнения Лапласа внутри сферы радиусом на поверхности которой потенциал представляется, согласно (3.126), в виде

    (3.128)

Это решение фактически представляет собой разложение (3.61) с учетом (3.58) для рассматриваемого случая.

Существует еще третья форма представления решения для сферы, так называемый интеграл Пуассона (2.25).

Фиг. 3.9. Заряженное кольцо радиусом а с зарядом Q внутри заземленной проводящей сферы радиусом b.

Эквивалентность этого решения и решения, получаемого при использовании разложения функции Грина, следует из того, что оба эти решения вытекают из общего соотношения (3.126) с функцией Грина, найденной методом изображений. Прямое доказательство эквивалентности решений (2.25) и (3.61) предоставляется провести читателю.

Обратимся теперь к задаче о потенциале заряда, распределенного по объему, т. е. к рассмотрению объемного интеграла в Достаточно рассмотреть случай нулевого потенциала на граничной поверхности. Общий случай может быть получен линейной суперпозицией решения уравнения Лапласа с этим частным решением. В качестве первого примера рассмотрим поле заряженного кольца радиусом а с полным зарядом Q, окруженного концентричной ему полой заземленной сферой радиусом b. Пусть заряженное кольцо расположено в плоскости как показано на фиг. 3.9. Плотность заряда кольца можно записать с помощью -функций от угла и радиуса:

Вследствие азимутальной симметрии в объемном интеграле от функции Грина (3.125) останутся лишь члены с Полагая

в (3.125) и учитывая (3.57), найдем

где — соответственно меньшая и большая из величин и а. Учитывая, что и

придем к разложению

Легко видеть, что при b выражение (3.130) или (3.131) переходит в потенциал (3.48) кольца в свободном пространстве. Эти выражения можно было бы получить из (3.48) с помощью метода изображений.

В качестве второго примера рассмотрим полую проводящую сферу, по диаметру которой равномерно распределен заряд Q (фиг. 3.10).

Фиг. 3.10. Однородно заряженная нить длиной с полным зарядом Q внутри заземленной проводящей сферы радиусом b. Заряженная нить расположена вдоль оси z. Плотность заряда равна

Пусть ось z совпадает с заряженной нитью. Распределение заряда запишется с помощью -функций следующим образом:

    (3.132)

Две -функции от соответствуют двум половинам заряженной нити — верхней (над плоскостью ) и нижней. Множитель в знаменателе обеспечивает постоянную линейную плотность

Подставляя это распределение плотности заряда в (3.126), получаем

    (3.133)

Беря интеграл отдельно по интервалам получаем

При это выражение становится неопределенным. Раскрывая его по правилу Лопиталя, получаем для

В справедливости этого соотношения можно убедиться и непосредственным интегрированием соотношения (3.133) при Учитывая, что мы можем представить потенциал (3.133) в виде

    (3.136)

Член показывает, что при потенциал обращается в бесконечность на оси z. Это видно и из того, что ряд (3.136) также расходится при за исключением крайних точек

Поверхностную плотность заряда на заземленной сфере легко найти из (3.136) дифференцированием:

    (3.137)

Первое слагаемое определяет полный заряд на сфере, равный —Q, поскольку интеграл от остальных слагаемых по поверхности сферы равен нулю.