§ 5. Интеграл Кирхгофа

Общая задача дифракции рассматривает падение волны на одно или несколько препятствий или отверстий в поглощающих или проводящих поверхностях. Волна частично поглощается и рассеивается, что приводит к появлению волн, распространяющихся в различных направлениях, отличных от направления падающей волны. Расчетом излучения, распространяющегося от препятствия или отверстия, и занимается теория дифракции. Первая систематическая

теория дифракции была дана Кирхгофом (1882 г.), который развил идею Гюйгенса о суперпозиции элементарных волн. В этом параграфе мы рассмотрим обычный метод Кирхгофа и остановимся на некоторых его недостатках, а в следующем выведем векторные теоремы, являющиеся векторным обобщением обычной скалярной теоремы Кирхгофа.

В теории дифракции обычно рассматривают две пространственные области разделенные граничной поверхностью S, как может быть, например, бесконечной металлической плоскостью с отверстиями.

Фиг. 9.4. Дифракционная система. На поверхности S, в которой имеются отверстия, возникают отраженные и проходящие волны, налагающиеся на волны, которые существовали бы в областях и II в отсутствие поверхности показано на фиг. 9.4. Поверхность S Волна, излучаемая источниками, расположенными в области падает на граничную поверхность S и дифрагирует на ней. При этом образуются рассеянные волны — проходящая вперед и отраженная. Обычно рассматривают только проходящую волну. Ее угловое распределение называется дифракционной диаграммой системы. Если падающая волна характеризуется полями отраженная волна — полями а проходящая волна — полями Е и В, то полное поле в областях и II будет где под s следует понимать соответственно или t. Основной задачей теории дифракции является определение полей при известных падающих полях и известных свойствах граничной поверхности S. Поля в областях и II связаны граничными условиями для Е и В, которые должны удовлетворяться на S; вид этих условий зависит от свойств поверхности

Задачи такого рода решаются обычно применением тождеств Грина к волновому уравнению (см. гл. 6). Рассмотрим скалярное поле определенное внутри и на замкнутой поверхности S и удовлетворяющее в этой области волновому, уравнению без источников. Под можно понимать любую декартову составляющую Е или В. В гл. 6 мы показали, что значение внутри S можно выразить через величину и ее нормальную производную

на поверхности

где — внешняя нормаль к поверхности и индекс указывает, что поля берутся в запаздывающий момент времени

Фиг. 9.5. Две возможные схемы дифракции. Область I содержит источники излучения. В области II поля удовлетворяют условиям излучения.

При гармонической зависимости от времени интеграл (9.62) для можно записать в виде

Чтобы применить соотношение (9.63) к дифракционным задачам, рассмотрим замкнутую поверхность S, состоящую из двух поверхностей Выбор поверхности определяется удобством решения данной конкретной задачи (например, ею может быть проводящий экран с отверстиями), а в качестве поверхности 52 выберем сферу или полусферу очень большого радиуса (в пределе бесконечного) в области как показано на фиг. 9.5. Так как поля в области II являются проходящими и исходят из дифракционной области, то в окрестности они должны иметь вид уходящих волн. Отсюда следует, что поля, а следовательно, и должны удовлетворять так называемым условиям излучения:

Легко показать, что при выполнении этих условий интеграл в (9.63) по полусфере стремится к нулю как при стремлении радиуса

полусферы к бесконечности. Таким образом, в пределе мы приходим к интегралу Кирхгофа для функции в области II

где — единичный вектор нормали к направленный в область II,

Чтобы применить формулу Кирхгофа (9.65) к дифракционной задаче, необходимо знать величины на поверхности Однако пока мы не решили точно соответствующую граничную задачу, эти значения нам не известны. Если, например, плоский идеально проводящий экран с отверстием, а — составляющая электрического поля, параллельная то, очевидно, равно нулю всюду на за исключением отверстия. Значение же в отверстии неизвестно. Поэтому без дополнительных исследований мы можем получить лишь приближенные решения, принимая определенные предположения о значениях и на Приближение Кирхгофа соответствует следующим допущениям:

1. Величины равны нулю на всюду, за исключением отверстий.

2. Величины в отверстиях равны соответствующим величинам в падающей волне в отсутствие каких-либо экранов или препятствий.

Все обычные дифракционные расчеты в классической оптике основаны на этом приближении Кирхгофа. Следует помнить, что полученные таким образом результаты справедливы лишь приближенно. Заметим, что сделанные допущения являются математически несовместными. Действительно, как было показано в гл. 1, § 9, для уравнения Лапласа решение внутри замкнутого объема однозначно определяется заданием на его поверхности либо только (задача Дирихле), либо только (задача Неймана). Это же справедливо и для волнового уравнения Гельмгольца. Обе величины нельзя независимо задавать на поверхности. Приближение Кирхгофа дает хорошие результаты для очень малых длин волн, когда размеры отверстия велики по сравнению с длиной волны. Однако даже в этом случае скалярная теория не учитывает эффектов, связанных с поляризацией дифрагирующей волны. Для промежуточных и длинных волн скалярное приближение вообще плохо применимо, не говоря уже об указанных выше сильных предположениях.

Так как задача о дифракции электромагнитных волн представляет собой граничную задачу для векторных полей, то можно надеяться, что мы добьемся существенно лучших результатов при использовании векторных эквивалентов интеграла Кирхгофа (9.65).