§ 5. Спектральное и угловое распределения энергии, излучаемой ускоренными зарядами

В § 4 с помощью качественной оценки было показано, что энергия, излучаемая зарядом, движущимся с редятивистской скоростью, распределена по широкому диапазону частот. Ширина частотного спектра была оценена на основании свойств интегралов Фурье. Для точного количественного расчета воспользуемся теоремой Парсеваля из теории интегралов Фурье.

Соотношение для мощности излучения в единицу телесного угла имеет общий вид

где

напряженность электрического поля (14.14). В (14.51) в отличие от § 3 мгновенная мощность рассматривается в зависимости от времени в лабораторной системе отсчета, так как желательно знать частотный спектр с точки зрения наблюдателя. Для определенности будем считать, что ускорение отлично от нуля в течение некоторого конечного интервала времени или по крайней мере убывает для отдаленных прошлых и будущих моментов, так что полная излученная энергия конечна. Предположим также, что точка наблюдения настолько удалена от заряда, что область, проходимая зарядом, в течение интервала, когда он ускоряется, видна из нее под малым телесным углом.

Полная энергия, излученная в единицу телесного угла, определяется интегрированием (14.51) по времени

    (14.53)

С помощью преобразования Фурье можно выразить этот результат в виде интеграла по частотам. Введем фурье-амплитуду функции

    (14.54)

и обратное преобразование

    (14.55)

Тогда формулу (14.53) можно переписать в виде

    (14.56)

Изменим порядок интегрирования по времени и по частоте. Легко убедиться, что интеграл по времени является фурье-представлением -функции . Поэтому выражение для энергии, излучаемой в единицу телесного угла, может быть преобразовано к виду

Равенство выражений (14.57) и (14.53), справедливое при выполнении некоторых общих математических ограничений, накладываемых на функцию , представляет собой частный случай теоремы Парсеваля. Так как знак частоты не имеет физического смысла, обычно проводят интегрирование лишь по положительным частотам. При этом соотношение

определяет величину равную энергии, излучаемой в единицу телесного угла в единичном интервале частот:

    (14.59)

Если величина действительная, то, согласно (14-55), так что

    (14.60)

Полученное соотношение устанавливает количественную связь между изменением излучаемой энергии во времени и ее частотным спектром.

Фиг. 14.8.

Воспользовавшись формулой (14.14) для электрического поля ускоренного заряда, можно получить общее выражение для энергии, излученной в единицу телесного угла в единичном интервале частот, в виде интеграла вдоль траектории частицы. Для этого нужно найти фурье-амплитуду (14.54) функции определяемой выражением (14.52). Согласно (14.14),

где индекс у скобок означает, что величина вычисляется для момента Заменяя переменную t на t, получаем

Поскольку предполагается, что точка наблюдения достаточно удалена от области пространства, в которой ускоренно движется частица, единичный вектор можно считать постоянным во времени. Кроме того, можно приближенно представить в виде

    (14.63)

где — расстояние точки наблюдения Р от начала отсчета определяет положение частицы относительно О, как показано на фиг. 14.8. При этом выражение (14.62) с точностью до общего фазового множителя принимает вид

Здесь для сокращения записи опущены штрихи у переменной интегрирования. Соответствующее выражение для энергии (14.60), излучаемой в единичном интервале частот в единицу телесного угла, имеет вид

    (14.65)

При заданном законе движения известна зависимость и могут быть найдены а следовательно, интеграл может быть вычислен как функция от и направления . При рассмотрении ускоренного движения группы заряженных частиц выражение (14.65) для амплитуды поля одного заряда следует заменить когерентной суммой амплитуд каждого из зарядов группы (см. задачи 14.11, 15.2 и 15.3).

Выражение (14.65) обладает тем преимуществом, что интегрирование в нем совершается лишь по интервалу времени, на котором ускорение отлично от нуля, однако в ряде случаев можно получить более простое выражение для спектральной интенсивности излучения, выполняя в (14.64) интегрирование по частям. Как легко показать, векторная часть, т. е. множитель при экспоненте в подынтегральном выражении в (14.64), представляет собой полный дифференциал

    (14.66)

Поэтому интегрирование по частям приводит к следующему выражению для спектральной интенсивности:

    (14.67)

Следует заметить, что в (14.67) и (14.65) поляризация излучения определяется направлением векторного интеграла. Для определения интенсивности излучения с некоторой заданной поляризацией следует, прежде чем вычислять квадрат модуля, найти скалярное произведение интеграла на соответствующий единичный вектор поляризации.

Если ускоренное движение совершается группой зарядов в подынтегральном выражении в (14.67) следует произвести замену

    (14.68)

В предельном случае непрерывного распределения движущихся зарядов сумма по переходит в интеграл по распределению токов

    (14.69)

При этом распределение интенсивности излучения определяется выражением

    (14.70)

Последнее соотношение может быть получено непосредственно решением неоднородного волнового уравнения для векторного потенциала (14.1).

Представляет интерес излучение движущегося магнитного момента, Найти его легче всего, воспользовавшись установленной в гл. 5 эквивалентностью ротора вектора намагниченности и тока

    (14.71)

Подставляя последнее соотношение в (14.70), получаем

    (14.72)

Если система представляет собой точечный магнитный момент находящийся в точке , то

    (14.73)

и энергия, излученная в единичном интервале частот в единицу телесного угла, равна

    (14.74)

Отвлекаясь от частотной зависимости самих интегралов, заметим, что характерным отличием интенсивности излучения магнитного диполя от интенсивности излучения ускоренного заряда является дополнительный множитель

Выведенные в данном параграфе общие формулы, и в особенности (14.65) и (14.67), будут использованы далее в этой и в последующих главах при исследовании различных проблем, связанных с излучением. Выражение (14.74) для излучения магнитного момента будет применено в гл. 15 при расчете излучения, испускаемого при захвате орбитальных электронов ядром.