§ 4. Магнитогидродинамический поток между границами в скрещенных электрическом и магнитном полях

Для иллюстрации конкурирующего влияния эффектов вмораживания силовых линий и диффузии поперек силовых линий, а также влияния граничных условий на электрический дрейф рассмотрим несжимаемую вязкую проводящую жидкость, движущуюся вдоль оси между двумя непроводящими плоскостями (фиг. 10.1). Граничные плоскости движутся со скоростями в х-направлении. Однородное магнитное поле В направлено вдоль оси z.

Фиг. 10.1. Течение вязкой проводящей жидкости в магнитном поле между двумя плоскостями, движущимися с различными скоростями.

В х- и у-направлениях система считается бесконечной. Будем искать стационарное решение для потокаг направленного вдоль оси причем все переменные зависят только от

Если поля не меняются во времени, то из уравнений Максвелла (10.5) следует, что электрическое поле является электростатическим потенциальным полем и полностью определяется граничными

условиями, т. е. представляет собой произвольное внешнее поле. Из выражения (10.14) для скорости силовых линий при бесконечной проводимости а следует, что должно существовать электрическое поле, направленное вдоль оси у. Если мы предположим, что имеется только одна эта составляющая поля Е, то она должна быть постоянной; обозначим ее через . Поскольку движущаяся жидкость увлекает силовые линии, мы вправе ожидать, что наряду с -составляющей магнитного поля появится также и его х-составляющая

Для несжимаемой жидкости уравнение непрерывности имеет вид Оно удовлетворяется автоматически, если скорость направлена вдоль оси и зависит только от . Если пренебречь силой тяжести, то уравнение движения для стационарного течения имеет вид

    (10.25)

Отлична от нуля только одна составляющая J, а именно

    (10.26)

где v — скорость вдоль оси Выпишем уравнение (10.25) для каждой из его составляющих:

    (10.27)

В -направлении градиент давления полностью уравновешивается магнитной силой. Предположим, что в направлении отсутствует перепад давления, тогда первое из этих уравнений примет вид

где

    (10.29)

называется числом Гартмана. Как видно из (10.17), величина равна отношению магнитной вязкости к обычной. Решение уравнения (10.28), удовлетворяющее граничным условиям и

легко может быть найдено

    (10-30)

В пределе получаем известное решение для ламинарного потока

    (10.31)

В другом предельном случае следует ожидать, что преобладающей будет магнитная вязкость и что течение должно почти полностью определяться электрическим дрейфом. Для и получаем

Отсюда видно, что скорость равная на поверхности быстро (на интервале порядка ) достигает дрейфовой скорости Вблизи поверхности выражение для получается из (10.32) заменой на и z на а — z. Профили скоростей для обоих предельных случаев (10.31) и (10.32) показаны на фиг. 10.2.

Магнитное поле определяется уравнением

Чтобы сформулировать граничные условия для при и z — а, необходимо либо знать предысторию процесса установления стационарного течения, либо исходить из определенных условий симметрии. Мы можем ишь связать разность значений с полным током вдоль оси у, приходящимся на единицу длины вдоль оси

    (10.34)

Такая неопределенность свойственна одномерным задачам. Ограничимся для простоты расчетом магнитного поля лишь для случая, когда полный ток по оси у равен нулю . В этом случае мы можем

принять, что обращается в нуль при С учетом (10.30) уравнение (10.33) дает

Безразмерный коэффициент в квадратных скобках в (10.35) можно отождествить с магнитным числом Рейнольдса (10.15), поскольку является характерной скоростью задачи, характерной длиной.

Фиг. 10.2. Профили скоростей для больших и малых чисел Гартмана М. При течение становится ламинарным. При М 1 скорость потока равна скорости электрического дрейфа, за исключением областей, непосредственно примыкающих к границам.

В предельных случаях выражение (10.35) принимает вид

    (10.36)

На фиг. 10.3 показан вид силовых линий в этих предельных случаях. Заметное увлечение силовых линий наблюдается только при больших RM, а при заданном RM увлечение тем меньше, чем больше число Гартмана.

Для ртути при комнатной температуре

Время диффузии [см. (10.12)] равно сек, если размер L выражен в сантиметрах. Число Гартмана М [см. (10.29)] равно если поле выражено в гауссах, в сантиметрах. При см магнитное число Рейнольдса примерно равно .

Фиг. 10.3. Продольная составляющая магнитного поля между граничными поверхностями при больших и малых числах Гартмана (а) и увлечение силовых линий магнитного поля в направлении потока (б).

Следовательно, если скорости потока не слишком велики, то в лабораторных экспериментах со ртутью не происходит сколь-нибудь значительного увлечения силовых линий. Если же магнитное поле имеет величину порядка 104 гаусс, то и скорость потока почти полностью определяется электрическим дрейфом (10.14). В геомагнитных процессах в земном ядре и в астрофизических задачах параметры (например, характерный размер) таковы, что RM часто много больше единицы и, следовательно, увлечение силовых линий весьма существенно.