§ 3. Преобразование к системе центра масс и пороги реакций

Одной из общих задач ядерной физики и физики частиц высоких энергий является задача о соударении двух частиц. Налетающая частица 1 с массой импульсом и энергией сталкивается с частицей 2 («мишень») с массой которая неподвижна в лабораторной системе координат. Соударение может быть простым упругим рассеянием

    (12.27)

Штрихи показывают, что направление полета частиц после соударения будет, вообще говоря, отличным от исходного. В других случаях соударение может привести к реакции

    (12.28)

в которой образуются две или несколько частиц и по крайней мере одна из них отлична от налетающих частиц. Упругое рассеяние возможно всегда; что касается ядерных реакций, то возможность

их осуществления определяется различием масс частиц и начальной энергией налетающей частицы. Чтобы произвести соответствующий энергетический расчет в наиболее простой кинематической форме, удобно перейти к координатной системе которой налетающая частица и мишень имеют равные и противоположно направленные импульсы. Эта система называется (не совсем удачно) системой центра масс (или системой центра инерции) и обозначается как система ЦМ.

Фиг. 12.2. Векторы импульсов при упругом рассеянии или при двухчастичной реакции в системе ЦМ.

Рассеянные частицы (или продукты реакции в двухчастичных реакциях) имеют в системе ЦМ равные и противоположные импульсы, составляющие угол с направлением первоначальных импульсов. На фиг. 12.2 показаны векторы импульсов при упругом рассеянии или двухчастичной ядерной реакции. В случае упругого рассеяния а при ядерной реакции величина q определяется из условия сохранения полной энергии (включая энергии покоя) в системе ЦМ.

Соотношение, позволяющее перейти от энергий и импульсов в лабораторной системе к соответствующим величинам в системе ЦМ, можно найти либо непосредственно с помощью преобразования Лоренца от системы К к системе причем относительная скорость определяется из требовайия либо используя инвариантность скалярного произведения. Выбирая последний способ, рассмотрим скалярное произведение

    (12.29)

Здесь левая часть ракенства вычисляется в лабораторной системе, где , а правая часть — в системе ЦМ, где Поэтому мы получаем

    (12.30)

Используя равенство находим, что полная энергия в системе ЦМ равна

    (12.31)

В отдельности энергии можно определить, рассматривая скалярные произведения типа

отсюда получаем

Отметим сходство этих выражений с соотношениями (12.21) и (12.22). Величина импульса получается из (12.33):

    (12.34)

Параметры лорендовского преобразования можно, определить, учтя, что . Отсюда

    (12.35)

Для нерелятивистского движения кинетическая энергия в системе ЦМ описывается выражением

    (12.36)

Аналогично скорость и импульс в системе ЦМ будут

    (12.37)

Таким образом, обычные нерелятивистские результаты получаются из строгих релятивистских формул. В случае ультрарелятивистского движения рассматриваемые величины принимают следующие приближенные предельные значения:

    (12.38)

Мы видим, что энергия в системе ЦМ растет только как корень квадратный из энергии налетающей частицы. Отсюда следует, что в системе ЦМ очень трудно получать ультравысокие энергии при бомбардировке неподвижных мишеней. Наиболее высокоэнергетические существующие ускорители частиц [в ЦЕРН вблизи Женевы (Швейцария) и в Брукхейвене (США)] дают протоны с энергией Если мишенями служат неподвижные нуклоны, то полная энергия в системе ЦМ будет Для получения энергии в системе ЦМ необходимо бомбардировать неподвижные нуклоны протонами с энергией свыше В связи с этим были предприняты значительные усилия для получения в ускорит елях так называемых встречных, или сталкивающихся, пучков, для которых лабораторная система является системой ЦМ.

При реакции двух исходных частиц с массами образуются две или несколько частиц с массами Пусть — разность между суммой масс конечных и начальных частиц

    (12.39)

Если величина положительна, то существует такая энергия Тпор налетающей частицы, называемая порогом данной реакции, ниже которой реакция не происходит. Реакция энергетически возможна, если энергия достаточна для создания в системе ЦМ требуемых частиц с нулевой кинетической энергией. Отсюда следует, что

    (12.40)

С помощью (12.31) легко найти пороговую кинетическую энергию налетающей частицы

    (12.41)

Первые два члена в скобках имеют нерелятивистское происхождение, а последний дает релятивистскую поправку. Рассмотрим для примера пороговую энергию фоторождения нейтральных -мезонов на протонах

Так как фотон не имеет массы покоя, то разность масс а масса мишени Поэтому для пороговой энергии получаем

В качестве другого примера рассмотрим рождение пары протон — антипротон при протон-протонных соударениях

Разность масс Из (12.41) находим

В этом примере пороговая энергия в 3 раза больше реальной разности масс, тогда как в примере с фоторождением она больше лишь на 7,2%. Расчеты порогов для других ядерных реакций отнесены к задаче 12.1 в конце главы.