§ 2. Разложение электромагнитных полей по мультиполям
В области, где источники отсутствуют, уравнения Максвелла имеют вид
При гармонической зависимости величин от времени
эти уравнения записываются в форме
(16.32)
Исключая из первых двух уравнений Е, приходим к следующим уравнениям для вектора В:
Если же мы исключим вектор В, то получим уравнения для вектора Е:
Совокупность трех формул (16.33) или
-эквивалентна уравнениям Максвелла (16.32).
Определим теперь мультипольные поля Е и В. Из (16.33) очевидно, что каждая декартова составляющая В удовлетворяет уравнению Гельмгольца (16.3). Поэтому общее решение для каждой составляющей В можно представить в виде (16.16). Объединяя эти выражения, приходим к векторному решению:
(16.35)
где
— произвольные постоянные векторы.
Векторные коэффициенты
в (16.35) не вполне произвольны, поскольку должно выполняться условие обращения в нуль дивергенции
Так как радиальные функции линейно независимы, то условие
должно порознь выполняться для обеих сумм в (16.35). Таким образом, коэффициенты
должны удовлетворять соотношению
(16.36)
Оператор дивергенции может быть заменен операторным множителем
где L — оператор, определяемый согласно (16.25). Подставляя (16.37) в (16.36), приходим к условию
(16.38)
Из рекуррентных формул (16.14) очевидно, что в общем случае коэффициенты
с данным I связаны с коэффициентами
где
Эта связь отсутствует лишь в том случае, когда
векторных коэффициента для каждого значения
подобраны так, что
(16.39)
В этом частном случае окончательное условие на коэффициенты накладывается вторым членом уравнения (16.38):
(16.40)
Условие (16.39), означающее поперечность поля относительно радиуса-вектора, в сочетании с уравнением (16.40) позволяет однозначно определить системы векторных угловых функций порядка I для каждого заданного значения
. Эти функции могут
быть найдены непосредственно из (16.39) и (16.40) с учетом общих свойств функций
Однако нетрудно заметить, что угловое решение имеет вид
(16.41)
Из соотношения (16.27) видно, что условие поперечности поля (16.39) удовлетворяется. Аналогично, используя второе из коммутационных соотношений (16.29) и формулу (16.27), можно показать, что выполняется и второе условие (16.40). А то, что функции
удовлетворяют волновому уравнению (16.3), следует из последнего соотношения (16.29).
Итак, принимая условие (16.39), мы приходим к следующей системе частных решений, или электромагнитных мультипольных полей:
(16.42)
где
(16.43)
Любая линейная комбинация этих полей с различными индексами
и m удовлетворяет системе уравнений (16.33). Характерной особенностью полученных решений является ортогональность вектора магнитной индукции радиусу-вектору
Поэтому подобные волны не представляют общего решения уравнений (16.33). Это сферический аналог поперечных магнитных (ТМ), или, иначе говоря, электрических цилиндрических волн, рассмотренных в гл. 8.
Если бы мы исходили из системы уравнений (16.34), а не (16.33), мы пришли бы к другой системе мультипольных полей, в которой радиусу-вектору ортогонален вектор Е:
(16.44)
Эти сферические волны являются аналогом поперечных электрических (ТЕ), или магнитных, цилиндрических волн.
Точно так же, как в случае цилиндрических волноводов, можно показать, что полученные две системы мультипольных полей (16.42) и (16.44) образуют полную систему векторных решений уравнений Максвелла. Мы будем называть эти мультипольные поля
соответственно электрическими и магнитными (а не поперечно магнитными и т. п.), так как они определяются, как мы увидим, соответственно плотностью электрического заряда и распределением магнитного момента. Ввиду важной роли векторных сферических гармоник удобно ввести нормированные функцииг)
(16.45)
с условием ортогональности
(16.46)
Комбинируя оба типа полей, можно написать общее решение уравнений Максвелла (16.32) в виде
(16.47)
где коэффициенты
определяют амплитуды электрических и магнитных мультипольных полей, соответствующих индексам
. Радиальные функции
имеют вид (16.43). Значения коэффициентов
, так же как и амплитуды в (16.43), определяются источниками и граничными условиями.