§ 3. Суперпозиция волн в одном измерении. Групповая скорость

Выше мы нашли решения уравнений Максвелла в виде плоских волн и обсудили их свойства. Мы ограничились рассмотрением только монохроматических волн с заданными частотой и волновым числом. Однако в реальных условиях таких идеализированных волн не существует. Даже самый монохроматический источник света и остронастроенный радиопередатчик дают излучение в конечном (хотя, возможно, и малом) интервале частот или длин волн. Немонохроматичность связана с конечной продолжительностью импульса, с собственной шириной линии в источнике света, а также с множеством других причин. Так как основные уравнения линейны, мы можем в принципе очень просто получить любую линейную суперпозицию решений с различными частотами. В действительности, однако, следует иметь в виду некоторые особенности.

1. В диспергирующей среде (где диэлектрическая проницаемость является функцией частоты поля) волны, имеющие разные частоты, распространяются с различными фазовыми скоростями. В результате изменяются взаимные фазы различных компонент. В частности, это приводит к изменению формы импульса по мере его распространения.

2. Скорость потока энергии в диспергирующей среде может сильно отличаться от фазовой скорости и даже не иметь определенного значения.

3. В среде с поглощением импульс излучения, затухая, не сохраняет своей формы, если поглощение существенно зависит от частоты.

По существу, эти дисперсионные и диссипативные эффекты неявно учитываются в теории рядов и интегралов Фурье (см. гл. 2, § 9). Возьмем для простоты скалярные одномерные волны. Пусть является скалярной функцией, под которой мы можем подразумевать любую из декартовых составляющих электромагнитного

поля. Основное решение волнового уравнения (7.2) возьмем в форме (7.6). Связь между частотой со и волновым числом k электромагнитных волн дается соотношением (7.5). При линейной суперпозиции мы можем принять за независимую переменную либо со, либо k. Примем сначала за независимую переменную волновое число k. Для учета дисперсии будем считать со произвольной функцией

Поскольку дисперсионные свойства среды не могут зависеть от направления распространения волны, частота со должна быть четной функцией так что со Для большинства длин волн является медленно меняющейся функцией k. Однако при некоторых частотах имеются области «аномальной дисперсии», где со меняется быстро в узком интервале длин волн. Последующее рассмотрение, основанное только на общей формуле (7.25), одинаково применимо к электромагнитным волнам, звуковым волнам, волнам де Бройля и т. д. Мы будем пока считать, что k и со вещественны, исключив тем самым из рассмотрения диссипативные эффекты.

Из фундаментальных решений (7.6) мы можем построить общее решение в виде

Множитель введен для согласования с обозначениями теории интегралов Фурье [см. (2.50) и (2.51)]. Амплитуда описывает свойства линейной суперпозиции различных волн. Она определяется через значение пространственной амплитуды и при с помощью преобразования

Если и представляет собой гармоническую волну на всей оси то из соотношения ортогональности (2.52) следует что соответствует монохроматической бегущей волне и как и должно быть. Если же при функция и представляет собой волновой

пакет конечной длины порядка то амплитуда уже не будет -функцией. Она будет представляться пикообразной функцией с шириной порядка с максимумом вблизи волнового числа являющегося основным волновым числом модулированной волны и

Фиг. 7.5. Синусоидальный волновой пакет конечной протяженности и его фурье-спектр.

Если обозначить через среднеквадратичные отклонения величин и k [определенные через интенсивности то для них можно вывести общее соотношение

Читатель может легко убедиться, что обычно для импульсов или волновых пакетов, не слишком быстро обрывающихся по краям, произведение на близко к предельной величине 1/2. Это означает, что короткому отрезку волны всего лишь в несколько длин волн соответствует широкое распределение волновых чисел, и наоборот, «длинная» синусоидальная волна почти монохроматична. Соотношение (7.28) в равной мере применимо к отклонениям Бремени и частоты.

Рассмотрим теперь изменение во времени импульса, или ограниченного во времени волнового отрезка.

Импульс, изображенный на фиг. 7.5 для момента с течением времени перемещается. Компоненты с различными частотами

и волновыми числами движутся с разными фазовыми скоростями. Таким образом, имеется тенденция к потере первоначальной когерентности и к искажению формы импульса. Поэтому мы можем ожидать, что импульс будет распространяться со скоростью, несколько отличающейся, скажем, от средней фазовой скорости составляющих его волн. Рассмотрение общего случая сильно диспергирующей среды, а также очень короткого импульса с широким интервалом волновых чисел довольно сложно. Однако распространение импульса с не слишком широким спектром волновых чисел, а также распространение импульса в среде, в которой частота слабо зависит от волнового числа, может быть рассмотрено следующим приближенным методом. В любой момент времени t волна описывается соотношением (7.26). Если функция имеет достаточно острый пик около некоторого волнового числа то частоту можно разложить в ряд в окрестности

При этом интеграл преобразуется к виду

Из сравнения с выражением (7.27) и с обратным фурье-образом следует., что интеграл в (7.30) равен где , т. е.

Отсюда видно, что если не говорить об общем фазовом множителе, то импульс движется без искажения формы со скоростью

которая носит название групповой скорости. Если плотность энергии определяется амплитудой волны (точнее, квадратом ее модуля), то ясно, что в этом приближении перенос энергии происходит с групповой скоростью, т. е. со скоростью движения импульса.

Для световых волн связь между и k описывается соотношением

где с — скорость света в свободном пространстве, а — показатель

преломления в функции от k. Фазовая скорость

может быть как меньше, так и больше с в зависимости от того, больше или меньше единицы величина

Фиг. 7.6. Зависимость показателя преломления , фазовой скорости и групповой скорости игр от частоты в области аномальной дисперсии.

Для большинства длин волн в оптическом диапазоне больше единицы почти во всех средах. Групповая скорость (7.32) равна

В этом соотношении более удобно считать функцией от , а не от k. При нормальной дисперсии производная положительна и, кроме того, таким образом, скорость потока энергии меньше фазовой скорости, а также меньше с. В области же аномальной дисперсии может оказаться большой отрицательной величиной. При этом групповая скорость будет сильно отличаться от фазовой скорости и может стать больше с.

Зависимость групповой и фазовой скоростей от частоты в области аномальной дисперсии показана на фиг. 7.6.