§ 4. Преобразование импульса и энергии из системы центра масс в лабораторную систему

На фиг. 12.2 показаны импульсы для двухчастичного столкновения в системе ЦМ. Начальные импульсы и энергии ) были рассчитаны выше и определяются выражениями (12.33) и (12.34). Аналогично можно рассчитать и конечные импульсы и энергии в системе ЦМ. Так как энергия и импульс сохраняются, -вектор импульса удовлетворяет соотношению

    (12.42)

Отсюда легко найти энергии разлетающихся частиц

    (12.43)

где Е определяется соотношением (12.31). Следует отметить очевидное сходство выражений (12.43) и (12.33). В системе ЦМ разлетающиеся частицы имеют импульс

или, в несколько иной форме,

    (12-45)

где превышение энергии налетающей частицы в лабораторной системе координат над пороговой энергией (12.41)

В случае упругого рассеяния, когда выражение (12.45), очевидно, сводится к (12.34).

Поскольку рассеяние и ядерные реакции фактически наблюдаются в лабораторной системе, необходимо произвести преобразование из системы ЦМ в лабораторную систему. На фиг. 12.3 показаны начальный импульс и конечные импульсы в лабораторной системе координат. Фиг. 12.3 отличается от фиг. 12.2 лоренц-преобразованием импульсов.

Фиг. 12.3. Векторы импульсов для двухчастичных процессов в лабораторной системе.

Энергию в лабораторной системе можно выразить через переменные системы ЦМ с помощью преобразования Лоренца для относительной скорости используя соотношения (12.35) и (12.4). Если угол между и направлением налетающей частицы в системе ЦМ, то

    (12.47)

Таким образом, в явном виде дается формулой

    (12.48)

где E определяется соотношением (12.31). Для получения достаточно просто поменять местами и заменить 0 на

Соотношение между углами можно получить из выражения

Таким образом,

    (12.50)

где

Заметим, что а является отношением скорости движения системы ЦМ к скорости частицы 3 в системе ЦМ. Вблизи порога реакции а значительно больше единицы. Отсюда следует, что при полном изменении от 0 до в системе ЦМ угол меняется лишь внутри некоторого конуса

Фиг. 12.4. Зависимость угла в лабораторной системе от угла в системе ЦМ для

Типичная зависимость при показана на фиг. 12.4. При угол в лабораторной системе соответствует двум различным углам в системе ЦМ: частицы, вылетающие в системе ЦМ вперед и назад, соответствуют в лабораторной системе одному и тому же углу рассеяния. Эти два типа частиц можно различить по их энергиям. Согласно (12.48), частицы, которые в системе ЦМ летят вперед, имеют большую энергию, чем частицы, летящие назад. Когда знаменатель в (12.50) может при некотором обратиться в нуль, что соответствует а для больших он становится отрицательным. Это

означает, что угол изменяется в полном интервале и однозначно связан с 0. Соответствующая кривая также изображена на фиг. 12.4.

Для получения величины в функции от достаточно выразить в (12.48) 0 через согласно (12.50). Иногда полезно иметь явное выражение для этой зависимости. Из закона сохранения энергии и импульса в лабораторной системе

    (12.52)

можно путем прямых, хотя и громоздких, вычислений прийти к соотношению

    (12.53)

Физический смысл имеют только те значения (12.53), которые больше Легко убедиться, что при допустимы оба знака корня, а при — только один. Для нахождения величины следует поменять местами и заменить на

Приведенные выше соотношения существенно упрощаются для упругого рассеяния, когда При этом угол рассеяния в лабораторной системе определяется из соотношения (12.50), где

    (12.54)

В нерелятивистском пределе мы получаем известный результат: Потеря энергии налетающей частицы равна Из (12.48) можно выразить через угол, рассеяния 0:

    (12.55)

Величину можно выразить также через угол отклонения в лабораторной системе, воспользовавшись соотношением (12.53):

Для лобовых соударений оба выражения дают максимальное значение

В частности, в нерелятивистском случае

    (12.58)

Отсюда видно, что при лобовом соударении вся кинетическая энергия налетающей частицы может быть передана другой частице при (это справедливо также и в релятивистском случае).

Важным примером передачи энергии являются соударения заряженной налетающей частицы с атомными электронами. При этом электроны можно считать покоящимися. Если налетающая частица не является электроном, тот . В этом случае максимальную передаваемую энергию можно приближенно записать как

где у и Р относятся к налетающей частице. Выражение (12.59) справедливо для не слишком больших энергий налетающей частицы когда

    (12.60)

Для -мезонов этот предел равен для протонов — около Для электрон-электронных соударений максимальная передаваемая энергия составляет

    (12.61)