§ 3. Вычисление силы реакции излучения по Абрагаму и Лоренцу

Приведенный в предыдущем параграфе вывод силы реакции излучения, хотя и нагляден, но не является совершенно строгим. Задача состоит в том, чтобы получить удовлетворительную оценку силы реакции, с которой действует на заряженную частицу ее собственное поле излучения. Поэтому любое систематическое исследование должно включать рассмотрение структуры заряда частицы и ее собственного поля. Первая попытка такого исследования на основании чисто электромагнитной модели заряженной частицы была предпринята Абрагамом (1903 г.) и Лоренцом (1904 г.). Мы будем следовать рассмотрению Лоренца, приведенному в его книге [69].

Рассмотрим малую одиночную заряженную частицу с полным зарядом и плотностью заряца в системе, где частица покоится. Частица находится во внешнем электромагнитном поле Как было показано в гл. 6, § 9, и гл. 11, § 11, сумма механического и электромагнитного импульсов в некотором объеме не изменяется во времени, если отсутствует поток импульса в указанный объем или из него. Абрагам и Лоренц предположили, что механический импульс заряженной частицы имеет в действительности электромагнитное происхождение. Таким образом, закон сохранения импульса может быть записан в виде

или в эквивалентной записи с использованием выражения для силы Лоренца

    (17.17)

В последнем уравнении векторы Е и В представляют собой полные поля, а интегрирование совершается по объему частицы.

Чтобы придать соотношению (17.17) форму уравнения движения Ньютона

разобьем полное поле на внешнее поле Евнеш, Ввнеш и собственное поле , обусловленное распределением плотности собственного заряда q и плотности тока

Теперь соотношение (17.17) можно записать в виде уравнения движения Ньютона, в котором внешняя сила определяется следующим образом:

а производная по времени от импульса частицы равна

    (17.20)

Если внешние поля мало меняются на протяжении размеров частицы, то внешняя сила (17.19) совпадает с обычной силой Лоренца, действующей на частицу с зарядом и скоростью

Для вычисления силы самодействия [интеграл в правой части уравнения (17.20)] необходимо задаться моделью заряженной частицы. Примем для простоты следующие предположения:

а) частица в данный момент покоится;

б) распределение заряда неизменно (модель «жесткого» электрона) и обладает сферической симметрией.

Полученные при этих допущениях результаты справедливы лишь для нерелятивистского движения и не обладают инвариантностью относительно преобразований Лоренца. В дальнейшем этот недостаток будет исправлен.

Для частицы, покоящейся в данный момент, уравнение (17.20) принимает вид

    (17.21)

Собственное поле частицы можно выразить через соответствующие потенциалы

Указанные потенциалы образуют -вектор

где

В следует вычислять для запаздывающего времени V. Последнее отличается от истинного времени t на интервал порядка где а — характерный размер частицы. Для распределения заряда, сосредоточенного в малом объеме, этот интервал времени весьма мал. Можно считать, что за это время движение частицы меняется мало. Поэтому естественно воспользоваться в (17.23) разложением подынтегрального выражения в ряд Тейлора в окрестности . Так как символ означает, что выражение в скобках вычисляется при то любую величину, вычисляемую с учетом запаздывания, можно представить разложением

Используя такое разложение для -тока в (17.23), преобразуем (17.22) к виду

Рассмотрим члены разложении скалярного потенциала в правой части выражения (первое слагаемое в квадратных скобках). Слагаемое с пропорционально интегралу

Это слагаемое определяет электростатическую силу самодействия. Для сферически симметричного распределения заряда эта сила равна нулю. Слагаемое с также равно нулю, так как содержит Таким образом, первое отличное от нуля слагаемое, определяемое скалярным потенциалом, соответствует

Поэтому сумму можно, изменив индекс суммирования, представить в виде

Используя уравнение непрерывности, связывающее плотности заряда и тока, можно записать выражение в фигурных скобках в (17.25) следующим образом:

Вычисляя по частям интеграл по от второго члена, получаем

Таким образом, выражение в фигурных скобках в (17.25) можно записать в виде

    (17-26)

При «жестком» распределении заряда плотность тока равна

Если распределение заряда обладает сферической симметрией, то единственным выделенным направлением задачи является направление вектора скорости v (t). Поэтому после интегрирования по останется лишь составляющая векторного выражения (17.26) вдоль направления . Таким образом, выражение (17.26) можно заменить следующим:

Далее, все направления вектора R равновероятны. Поэтому величину можно заменить ее средним значением, равным 1/3. В результате получаем окончательное простое выражение для величины в фигурных скобках в (17.25):

    (17.27)

Подставляя (17.27) в (17.25) и пренебрегая нелинейными членами в производных v по времени (которые появляются при придем к следующему выражению для силы самодействия:

    (17.28)

Для выяснения смысла формулы (17.28) рассмотрим несколько первых членов в полученном разложении:

    (17.29)

В последнем выражении а означает характерную протяженность распределения заряда частицы. Заметим, что члены разложения с обращаются в нуль в предельном случае точечного заряда . Поэтому для сосредоточенных распределений заряда необходимо рассмотреть лишь члены разложения с Слагаемое с совпадает с найденной ранее силой реакции излучения (17.9). Эта сила не зависит от структуры частицы и определяется лишь величиной полного заряда. Настоящий вывод можно считать более глубоким обоснованием выражения для силы реакции по сравнению с рассмотрением, проведенным в § 2.

Член в (17.29), соответствующий заслуживает специального рассмотрения. Входящий в него двойной интеграл пропорционален собственной электростатической энергии U распределения заряда

    (17.30)

так что член, соответствующий можно записать в виде

Это соотношение имеет вид обычного закона изменения импульса во времени. Отношение собственной электростатической энергии к можно отождествить с электромагнитной массой частицы

    (17.32)

Если пренебречь высшими членами разложения (17.28), то уравнение движения Ньютона для модели Абрагама — Лоренца принимает вид

    (17.33)

Это уравнение совпадает с (17.9), за исключением численного множителя 4/3 при электромагнитной массе.