§ 6. Метод инверсии

Изложенные в предыдущих параграфах примеры применения метода изображений к сфере наводят на мысль о том, что решения электростатических задач, связанных обратным преобразованием радиуса

в каком-то смысле эквивалентны. Эта эквивалентность является основой так называемого метода инверсии, а преобразование (2.16) называется преобразованием инверсии на сфере. Радиус сферы называют радиусом инверсии, а ее центр — центром инверсии. Математический смысл эквивалентности ясен из следующей теоремы:

Пусть потенциал, обусловленный системой точечных зарядов в точках Тогда функция

является потенциалом системы зарядов

расположенных в точках

Докажем эту теорему. Потенциал можно представить в виде

где — угол между радиусами-векторами При преобразовании (2.16) углы не меняются. Следовательно, новый потенциал Ф имеет вид

Вынося за знак радикала, мы можем переписать Ф в виде

откуда и следует справедливость теоремы.

На фиг. 2.7 показана простая конфигурация зарядов до ,и после инверсии. Потенциал Ф в точке Р, обусловленный инвертированной системой зарядов, связан с потенциалом Ф исходной системы в точке Р зарядов соотношением (2.17).

Фиг. 2.7.

Мы доказали теорему инверсии для системы точечных зарядов. Предоставляем читателю в качестве упражнения доказать, что если потенциал Ф удовлетворяет уравнению Пуассона

то новый потенциал Ф, определяемый соотношением (2.17), также удовлетворяет уравнению Пуассона

где новая объемная плотность зарядов равна

Связь между этим законом преобразования объемной плотности заряда и законом преобразования величины точечных зарядов (2.18) можно установить, представив плотность распределения для системы дискретных зарядов в виде суммы -функций:

В сферических координатах с началом координат в центре инверсии объемная плотность заряда запишется в виде

где — угловая -функция, интеграл от которой по телесному углу дает единицу, а — радиальная -функция. При инверсии угловая зависимость не меняется. Следовательно,

Как указано в гл. 1, § 2, радиальную -функцию можно преобразовать следующим образом:

так что

а новая объемная плотность заряда принимает, согласно (2.20), вид

где что совпадает с (2.18).

Для поверхностной плотности зарядов закон преобразования при инверсии имеет вид

такую зависимость и следовало ожидать из сопоставления соотношений (2.18) и (2.20).

Прежде чем перейти к примерам применения метода инверсии, следует остановиться на нескольких вопросах физического и геометрического характера.

В отношении физических свойств преобразования инверсии заметим сначала, что, если в первоначальной задаче на некоторых поверхностях был задан постоянный потенциал, после инверсии на инвертированных поверхностях потенциал не будет, вообще

говоря, постоянным. Это видно из соотношения (2.17): из-за множителя потенциал Ф инвертированной поверхности не будет постоянным, даже если потенциал Ф первоначальной поверхности был постоянным. Единственным исключением является случай, когда потенциал Ф равен нулю на некоторой поверхности; тогда и потенциал Ф равен нулю на инвертированной поверхности.

Может показаться, что, поскольку потенциал Ф содержит произвольную аддитивную постоянную, мы можем приравнять нулю потенциал произвольной поверхности первоначальной конфигурации, обеспечив тем самым нулевой потенциал инвертированной поверхности.

Фиг. 2.8. Преобразование инверсии. Поверхность S преобразуется в S, и наоборот; О — центр инверсии, а — радиус инверсии.

Однако тут мы сталкиваемся со вторым характерным физическим свойством преобразования инверсии. Оказывается, потенциалы, получающиеся по методу инверсии для двух задач, в которых потенциалы первоначальных систем различаются лишь на постоянную соответствуют физически различным системам зарядов, а именно распределение зарядов отличается на точечный заряд расположенный в центре инверсии. Это легко видеть из (2.17): добавление постоянного слагаемого к Ф приводит к увеличению Ф на Соответственно при применении метода инверсии следует иметь в виду, что при отображении бесконечно удаленной точки в начало координат там может появиться точечный заряд. Если он не требуется по условиям задачи, то его следует убрать надлежащей линейной суперпозицией.

Приведем теперь несколько простых геометрических свойств преобразования инверсии, в справедливости которых легко убедиться. Пусть О — центр инверсии, а — радиус инверсии (фиг. 2.8). Пересечение сферы инверсии с плоскостью чертежа показано на фиг. 2.8 пунктиром. Пусть кривая АВ — след пересечения

поверхности S с плоскостью чертежа. Инвертированная поверхность S, определяемая преобразованием (2.16), пересекается с плоскостью чертежа по кривой АВПри инверсии справедливы следующие положения, доказательства которых мы приводить не будем:

а) углы пересечения не меняются;

б) величина элементарной площадки на поверхности S связана с величиной соответствующей площадки на инвертированной поверхности S соотношением

в) сфера переходит в сферу (в частности, бесконечного радиуса, см. );

г) плоскость переходит в сферу, проходящую через центр инверсии, и наоборот.

Фиг. 2.9. Различные варианты инверсии сферы. Если центр О инверсии расположен на поверхности S сферы, то инвертированная поверхность S представляет собой плоскость, в остальных случаях — сферу. Сфера инверсии показана пунктиром.

На фиг. 2.9 показаны различные варианты инверсии сферы, соответствующие п. «в» и «г» для случаев, когда центр инверсии расположен вне сферы, на ее поверхности и внутри сферы.

В качестве простейшего примера решения электростатической задачи методом инверсии рассмотрим проводящую сферу радиусом , несущую заряд Q. Внутри этой сферы потенциал постоянен и равен а вне сферы убывает обратно пропорционально расстоянию от ее центра. Надлежащим выбором центра инверсии и соответствующих параметров мы можем с помощью метода инверсии найти потенциал точечного заряда q, расположенного на расстоянии d от бесконечной проводящей заземленной плоскости. Очевидно, если поместить центр инверсии О на поверхности сферы

радиусом R, то в результате преобразования она перейдет в плоскость (фиг. 2.10). Далее, если принять произвольную постоянную в потенциале равной то сфера и получающаяся при ее преобразовании плоскость будут иметь нулевой потенциал, а в центре инверсии появится точечный заряд Чтобы получить точечный заряд q на расстоянии d от плоскости, следует положить радиус инверсии а равным а начальный заряд Q равным - .

Фиг. 2.10. Нахождение потенциала точечного заряда методом инверсии. Потенциал изолированной заряженной проводящей сферы переходит при преобразовании инверсии в потенциал точечного заряда, находящегося на расстоянии d от бесконечной проводящей плоскости.

Поверхностная плотность заряда, индуцируемая на плоскости, легко находится с помощью соотношения (2.21). Поскольку на поверхности сферы поверхностная плотность постоянна, на плоскости она меняется обратно пропорционально кубу расстояния от начала координат (это легко проверить методом изображений; см. задачу 2.1).

Если центр инверсии находится вне изолированной проводящей сферы, то, как видно из фиг. 2.9, преобразованием инверсии можно решить задачу о поле точечного заряда вблизи заземленной проводящей сферы (в § 2 она была решена методом изображений). Предоставляем читателю убедиться в этом (см. задачу 2.9).

Весьма интересно применил метод инверсии лорд Кельвин в 1847 г. Он рассчитал распределение плотности заряда на внутренней и внешней сторонах тонкой заряженной проводящей «чаши», получающейся срезанием верхушки у сферической поверхности. В качестве исходного потенциала, подвергавшегося инверсии, был принят потенциал тонкого плоского заряженного круглого диска (см. гл. 3, § 12). По мере изменения формы поверхности от мелкой

чаши типа часового стекла до почти замкнутой сферы с небольшим отверстием распределение заряда также изменяется: сначала оно близко к распределению на диске, а затем переходит в распределение на сфере. В первом предельном случае плотность заряда внутри и снаружи почти одинакова, причем заряды сосредоточены в основном у краев, во втором случае на внутренней стороне плотность заряда почти нулевая, а на наружной заряд распределен почти равномерно. Численные данные приведены в трудах Кельвина [58] и в книге Джинса [55].