Глава 7. ПЛОСКИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Предметом настоящей главы являются плоские волны в неограниченном или полуограниченном пространстве. В первую очередь будут рассмотрены основные свойства плоских волн в непроводящей среде — их поперечная природа и различные типы поляризации. Затем описывается поведение одномерных волновых пакетов, вводятся понятия групповой скорости и дисперсии. Исследуется преломление и отражение волн от плоской границы раздела двух диэлектриков. Далее рассматриваются плоские волны в проводящей среде и анализируется простейшая модель электропроводности. Затем эта модель видоизменяется так, чтобы ее можно было применить к разреженной плазме или электронному газу, и рассматривается распространение поперечных волн в плазме, находящейся во внешнем статическом магнитном поле.

§ 1. Плоские волны в непроводящей среде

Характерной особенностью уравнений Максвелла для электромагнитного поля является существование решений в виде распространяющихся волн, несущих с собою энергию. Простейшим и вместе с тем наиболее важным случаем электромагнитных волн являются поперечные плоские волны. Прежде всего рассмотрим, как получаются такие решения в непроводящей среде, описываемой постоянными диэлектрической и магнитной проницаемостями. Уравнения Максвелла в неограниченном пространстве без источников имеют вид

где параметры — характеристики среды. Комбинируя два содержащих роторы уравнения и учитывая равенство нулю дивергенций, мы легко найдем, что любая декартова составляющая полей Е и В удовлетворяет волновому уравнению

где постоянная

имеющая размерность скорости, является характеристикой среды. Волновое уравнение (7.2) имеет известное решение в виде плоской волны

где частота со и модуль волнового вектора к связаны соотношением

Если мы рассмотрим волны, распространяющиеся только в одном направлении, скажем в х-направлении, то фундаментальным решением будет

Используя (7.5), мы можем написать

    (7.7)

Если v не зависит от k (т. е. рассматривается недиспергирующая среда, для которой не зависит от частоты), то, как мы знаем, из интегральной теоремы Фурье [см. (2.50) и (2.51)] с помощью линейной суперпозиции ) можно построить общее решение вида

где f и g — произвольные функции. Легко проверить и непосредственно, что это решение действительно удовлетворяет волновому уравнению (7.2). Оно описывает волны, движущиеся соответственно в положительном и отрицательном направлениях по со скоростью которая называется фазовой скоростью волны. Если же v зависит от k, то ситуация не будет простой — начальные волны уже не распространяются со скоростью v без искажения формы (см. § 3). Однако для каждой частотной компоненты скорость v, определенная равенством (7.3), остается фазовой скоростью.

Плоские волны, определяемые соотношениями (7.4) и (7.5), удовлетворяют скалярному волновому уравнению (7.2). Но нужно еще учесть векторный характер полей, удовлетворяющих уравнениям Максвелла.

Фиг. 7.1. Волновой вектор к и два ортогональных вектора поляризации и

Принимая условие, что истинные электрическое и магнитное поля соответствуют действительным частям комплексных величин, будем искать Е и В в виде

где и постоянные единичные векторы, а — комплексные амплитуды, постоянные как в пространстве, так и во времени. Из условий следуют равенства

которые означают, что Е и В перпендикулярны направлению распространения волны к. Такие волны называются поперечными. Роторные уравнения приводят к дальнейшим ограничениям. Подставляя (7.9) в первое роторное уравнение (7.1), получаем

Уравнение (7.11) (в действительности это несколько уравнений) имеет решение

Таким образом, образуют систему ортогональных векторов, векторы Е и В колеблются в фазе и отношение Е к В постоянно (фиг. 7.1). Волна, описываемая соотношениями (7.9), (7.12)

и (7.13), является поперечной волной, распространяющейся в направлении . Соответствующий средний по времени поток энергии определяется действительной частью комплексного вектора Пойнтинга

Этот поток (энергия, проходящая через единицу площади в единицу времени) равен

где — единичный вектор в направлении к.

Средняя по времени плотность энергии равна

откуда следует, что

Беря отношение абсолютных величин (7.15) и (7.17), мы видим, что скорость потока энергии равна что и следовало ожидать согласно (7.8).