§ 3. Угловое распределение излучения ускоряемого заряда

При нерелятивистском движении ускоряемого заряда угловое распределение мощности излучения описывается простой зависимостью [см. (14.21)], где угол отсчитывается от направления ускорения. При релятивистском движении поле излучения ускоряемого заряда зависит не только от ускорения, но и от скорости, так что угловое распределение излучения носит более сложный характер. Исходя из (14.14), найдем радиальную составляющую вектора Пойнтинга

    (14.35)

Очевидно, что существует два типа релятивистских эффектов.

- Один эффект определяется взаимным пространственным расположением векторов . Кроме того, имеется общий релятивистский эффект, связанный с переходом от системы координат, относительно которой частица покоится, к лабораторной системе отсчета и проявляющийся в появлении в знаменателе выражения (14.35) степеней множителя определяемого соотношением (14.5). Для ультра-релятивистских частиц угловое распределение излучения определяется в основном последним эффектом.

Произведение в формуле (14.35) дает поток энергии за единицу времени через единичную площадку, обусловленный излучением заряда в момент и регистрируемый в точке наблюдения в момент t. Для определения энергии, излученной за конечный период ускорения, скажем от до следует выполнить интегрирование

    (14.36)

Таким образом, желательно знать величину имеющую смысл мощности, излучаемой через единичную поверхность за единицу собственного времени заряда. Мощность, излучаемая в единицу телесного угла, определяется соотношением

    (14.37)

Пусть заряд ускоряется лишь в течение короткого интервала времени, причем за это время не изменяются существенно по направлению и величине; кроме того, пусть точка наблюдения настолько удалена от заряда, что меняются пренебрежимо мало за время ускорения. При этих условиях величина (14.37)

будет пропорциональной угловому распределению излучаемой энергии. Учитывая выражение (14.35) для вектора Пойнтинга, находим угловое распределение излучения

Проиллюстрируем соотношение (14.38) на простейшем примере прямолинейного движения, для которого параллельны.

Фиг. 14.4. Распределение излучения заряда, испытывающего ускорение в направлении движения. Диаграммы излучения для обеих скоростей изображены в различном масштабе: диаграмма для релятивистского движения (соответствующая уменьшена приблизительно в 10 раз при том же значении ускорения.

Если ввести угол наблюдения , отсчитываемый от направления , то (14.38) преобразуется к виду

При это соотношение сводится к формуле Лармора (14.21). Однако по мере приближения к единице диаграмма углового распределения излучения все более и более вытягивается в направлении движения электрона, причем интенсивность излучения возрастает, как схематически показано на фиг. 14.4. Угол, для которого интенсивность излучения максимальна, равен

    (14.40)

где последнее соотношение справедливо в пределе . В этом предельном случае интенсивность в максимуме пропорциональна Уже при что соответствует кинетической энергии электронов порядка имеем . Для релятивистских частиц угол очень мал: порядка отношения энергии покоя частицы к ее полной энергии. Таким образом, все излучение

сосредоточено в очень узком конусе вокруг направления движения. Для таких малых углов угловое распределение излучения (14.39) можно описать приближенной формулой:

    (14.41)

Величина очевидно, может служить естественной единицей измерения угла. На фиг. 14.5 изображено угловое распределение излучения, причем угол выражен в этих единицах. Максимум распределения расположен при а уровень половинной мощности соответствует

Фиг. 14.5. Угловое распределение излучения для релятивистской частицы.

Среднеквадратичное значение угла, под которым испускается излучение, в релятивистском предельном случае описывается соотношением

    (14.42)

Такая картина распределения излучения для релятивистского случая типична независимо от взаимного расположения . Полную мощность излучения можно получить, проведя интегрирование выражения (14.39) по всем углам. Это приводит к соотношению

в согласии с (14.26) и (14.27).

В качестве другого примера рассмотрим угловое распределение излучения при мгновенном движении заряда по окружности, когда ускорение (J перпендикулярно скорости заряда . Выберем систему координат так, чтобы направление мгновенной скорости Р совпадало с осью z, а ускорение Р было направлено вдоль Определяя направление наблюдения обычными сферическими угловыми координатами

0, <р, как показано на фиг. 14.6, преобразуем общую формулу (14.38) к виду

Заметим, что, хотя детали углового распределения излучения отличаются от распределения при прямолинейном ускоренном движении, в данном случае тоже имеется характерная релятивистская концентрация излучения в направлении движения.

Фиг. 14.6.

В предельном релятивистском случае угловое распределение излучения представляется приближенным выражением

В этом приближении среднеквадратичное значение угла, под которым испускается излучение, определяется той же формулой (14.42), что и при одномерном движении. Полную мощность излучения можно найти или интегрированием (14.44) по всем углам, или из (14.26)

    (14-46)

Интересно сравнить мощность излучения в случае, когда ускорение параллельно скорости [см. (14.43) или (14.27)], с мощностью излучения при ускорении, нормальном скорости [см. (14.46)], при одинаковой величине приложенной силы. При движении по

окружности скорость изменения импульса (равная приложенной силе) равна Поэтому (14.46) можно переписать в виде

    (14.47)

Сравнивая это выражение с соответствующим выражением (14.27) для прямолинейного движения, находим, что при заданной величине приложенной силы излучение при поперечном ускорении в раз превышает излучение для случая продольного ускорения.