ЗАДАЧИ

12.1. С помощью преобразования к системе ЦМ определить пороговые кинетические энергии (в ) для следующих процессов:

а) рождение -мезона при нуклон-нуклонных соударениях

б) рождение -мезона при -мезон-нуклонных соударениях;

в) рождение пары -мезонов при нуклон-нуклонных соударениях;

г) рождение нуклонных пар при электрон-электронных соударениях.

12.2. Пусть некоторая покоящаяся система с массой М распадается или превращается в несколько частиц, сумма масс которых меньше чем М на величину .

а) Показать, что максимально возможная кинетическая энергия частицы (с массой ) равна

б) Определить максимальные кинетические энергии в а также в отношении к для каждой частицы в следующих процессах распада и превращения покоящихся частиц:

12.3. При соударении -мезона с покоящимся протоном образуется -мезон и -гиперон Используя законы сохранения энергии и импульса и релятивистскую кинематику, найти:

а) кинетическую энергию в падающего -мезона, соответствующую порогу образования -мезона;

б) кинетическую энергию в -мезона, необходимую для получения -мезона, вылетающего под углом 90° в лабораторной системе координат;

в) кинетическую энергию -мезона, вылетающего под углом 0° в лабораторной системе, если кинетическая энергия -мезона на 20% больше значения, найденного в п.

г) кинетическую энергию -мезона, вылетающего под углом 90° в лабораторной системе, если падающий -мезон имеет кинетическую энергию

12.4. Как известно, уравнение движения Ньютона

справедливо для точечной заряженной частицы с массой и зарядом в системе координат в которой частица в данный момент покоится. Показать, что для получения релятивистского уравнения движения

достаточно использовать лоренцовские трансформационные свойства ускорения и электромагнитного поля.

12.5. При лагранжевом описании движения релятивистской заряженной частицы можно в качестве лагранжевых переменных использовать 4-вектор положения частицы и При этом уравнения Эйлера — Лагранжа имеют явно ковариантную форму

где L — лоренц-инвариантный лагранжиан, а — собственное время.

а) Показать, что лагранжиан

приводит к правильным релятивистским уравнениям движения для частицы, взаимодействующей с внешним полем, описываемым -вектором-потенциа-лом А.

б) Определить канонические импульсы и написать гамильтониан в ковариантной, а также в пространственно-временной форме. Гамильтониан является лоренц-инвариантом. Чему равна его величина?

12.6. а) Исходя из принципа Гамильтона, показать, что лагранжианы, отличающиеся друг от друга на полную производную по времени от произвольной функции координат и времени, эквивалентны в том смысле, что они приводят к одинаковым уравнениям движения Эйлера—Лагранжа.

б) Показать непосредственно, что калибровочное преобразование потенциалов b в лагранжиане заряженной частицы (12.75) переводит лагранжиан в эквивалентный.

12.7. Частица с массой и зарядом движется в однородном статическом-электрическом поле

а) Найти скорость и координаты частицы как явные функции времени в предположении, что начальная скорость перпендикулярна электрическому полю.

б) Исключив время, найти траекторию частицы в пространстве. Исследовать форму пути для малого и большого интервалов времени (определить понятия «большой» и «малый» интервал времени).

12.8. Для дрейфового селектора скоростей используются однородные статические скрещенные электрическое и магнитное поля на интервале L. Пусть входная и выходная щели имеют ширину Определить зависимость, интервала скоростей Ди вокруг средней скорости для частиц, проходящих через установку, от массы, импульса или энергии падающих частиц, напряженностей полей, длины селектора и других существенных переменных. Краевыми эффектами пренебречь. При анализе принять следующие практические значения параметров: L порядка нескольких метров, .

12.9. Частица с массой и зарядом движется в лабораторной системе координат в скрещенных статических однородных электрическом и магнитном полях, причем поле Е параллельно оси а поле В параллельно оси у.

а) Считая, что произвести лоренцовское преобразование, описанное в § 8, и получить явно уравнение траектории частицы в параметрическом виде.

б) Повторить вычисления п. «а» для случая

12.10. Статические однородные электрическое и магнитное поля образуют между собой угол

а) Выбрав подходящим образом оси координат, решить уравнение движения частицы с зарядом и массой в декартовых координатах.

б) Показать, что в случае параллельных полей Е и В решение можно при соответствующем выборе постоянных интегрирования и т. п. представить в параметрической форме следующим образом:

где — произвольная постоянная, а параметр, равный где — собственное время.

12.11. Магнитное поле Земли можно приближенно представить как поле магнитного диполя с магнитным моментом . Рассмотреть движение электронов в поле земного диполя.

а) Показать, что уравнение магнитной силовой линии имеет вид где -обычный полярный угол, отсчитываемый от оси диполя, и найти выражение для величины В вдоль силовой линии в функции от 0.

б) Положительно заряженная частица вращается вокруг силовой линии в экваториальной плоскости и имеет радиус вращения а на среднем расстоянии R от центра Земли Показать, что азимут частицы (долгота) изменяется приблизительно линейно со временем по закону

где частота, соответствующая магнитному полю на расстоянии R от центра Земли.

в) Пусть наряду с азимутальным движением, определенным в п. частица имеет малую составляющую скорости, параллельную силовым линиям. Показать, что это приводит к малым колебаниям по 0 около точки с частотой Найти изменение долготы за один период колебаний по широте.

г) Для электрона с энергией находящегося на среднем расстоянии см от центра Земли, найти и а и определить время обращения вокруг Земли за счет дрейфа, а также период колебаний по широте.

Рассчитать эти же величины для электрона с энергией при том же среднем радиусе.

12.12. В тот момент, когда частица находится в экваториальной плоскости магнитного поля Земли (которое предполагается дипольным полем), ее расстояние от центра Земли равно R, а вектор скорости направлен под углом а к экваториальной плоскости а). Полагая, что радиус вращения частицы вокруг силовых линий а R и что поток через ее орбиту является интегралом движения, определить максимальную магнитную широту X, достигаемую частицей. Построить график зависимости X от угла а. Отметить на этой кривой те значения а, при которых частица, находившаяся в экваториальной плоскости на расстоянии R от центра Земли, попадает на Землю при ( радиус Земли).