§ 2. Разложение по мультиполям энергии распределения зарядов во внешнем поле

Если ограниченное распределение заряда с плотностью находится во внешнем поле с потенциалом то электростатическая энергия системы равна

При медленном изменении потенциала Ф в области, где плотность отлична от нуля, его можно представить в виде разложения в ряд Тейлора в окрестности некоторого соответствующим, образом выбранного начала отсчета:

Воспользовавшись определением напряженности электрического поля , два последних члена можно переписать в иной форме. При этом (4.15) примет вид

Так как для внешнего поля, то можно вычесть из последнего слагаемого величину

в результате чего получим разложение

Подставляя полученное разложение в (4.14) и используя определения полного заряда, дипольного момента (4.8) и квадрупольного момента (4.9), можно представить выражение для энергии в виде

Из этого разложения ясен характер взаимодействия различных мультиполей с внешним полем: энергия заряда определяется потенциалом, диполя — электрическим полем, квадруполя — градиентом поля и т. д.

В ядерной физике особый интерес представляет квадрупольное взаимодействие. Атомные ядра могут обладать электрическим квадрупольным моментом, причем величина и знак момента связаны с силами взаимодействия нейтронов и протонов и формой самого ядра. Энергетические уровни, или состояния, ядер описываются квантовыми числами полного момента количества движения J, его составляющей М вдоль оси и другими величинами, которые мы обозначим общим индексом а. Данному состоянию ядра соответствует квантовомеханическая плотность заряда , зависящая от квантовых чисел и обладающая цилиндрической симметрией относительно оси z. Таким образом, единственным отличным от нуля квадрупольным моментом является в (4.6) или в (4.9) 2). Квадрупольный момент ядерного состояния определяется величиной ) (е — заряд протона), вычисленной для плотности заряда

Величина имеет, следовательно, размерность квадрата длины.

Если не рассматривать каких-либо особых исключительных случаев (например, ядра в атомах с полностью заполненными электронными оболочками), то ядра оказываются подверженными действию внутренних полей, градиент которых в окрестности ядра отличен от нуля. Следовательно, согласно (4.17), квадрупольное взаимодействие дает вклад в энергию ядра. Состояния, характеризуемые различными значениями М при одинаковом имеют разные квадрупольные моменты следовательно, вырождение по М, если оно имело место, снимается из-за квадрупольной связи с «внешним» электрическим полем (молекулярным или полем кристаллической решетки). Обнаружение этих малых различий в уровнях энергии, проводимое радиотехническими методами, позволяет определить квадрупольные моменты ядер.

Энергию взаимодействия двух диполей можно определить непосредственно из (4.17), используя выражение для поля

диполя (4.13). Взаимная потенциальная энергия оказывается равной

где — единичный вектор в направлении . В зависимости от взаимной ориентации диполей они могут притягиваться или отталкиваться.

При заданных ориентации диполей и расстоянии между ними величина энергии взаимодействия, усредненная по всем относительным положениям диполей, равна нулю. Если моменты параллельны друг другу и ориентированы примерно параллельно линии, соединяющей их центры, то диполи притягиваются, если же они ориентированы приблизительно перпендикулярно соединяющей их линии, то диполи отталкиваются. Для антипараллельных моментов имеет место обратное соотношение. По абсолютной величине экстремальные значения потенциальной энергии равны между собой.