§ 4. Векторный и скалярный потенциалы

Уравнения Максвелла образуют систему взаимосвязанных уравнений первого порядка в частных производных, определяющих изменение составляющих электрического и магнитного полей. Для простых конфигураций они могут быть решены непосредственно. Однако часто удобно ввести потенциалы и свести систему к меньшему числу уравнений второго порядка. При этом некоторые из уравнений Максвелла удовлетворяются автоматически. Мы уже познакомились с этим методом в электростатике и магнитостатике, где использовались скалярный потенциал Ф и векторный потенциал А.

Поскольку мы можем выразить В через векторный потенциал:

Подставляя это выражение во второе однородное уравнение системы (6.28) (в закон Фарадея), получаем

Величину в круглых скобках, ротор которой равен нулю, можно, очевидно, представить в виде градиента некоторой скалярной функции, а именно скалярного потенциала Ф:

Поля В и Е, определенные через потенциалы соотношениями (6.29) и (6.31), тождественно удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла. Динамическое поведение определяется двумя неоднородными уравнениями системы (6.28).

На данной стадии удобно ограничить наше рассмотрение микроскопической формой уравнений Максвелла. Тогда неоднородные уравнения системы (6.28) можно записать через потенциалы в виде

Таким образом, мы свели систему четырех уравнений Максвелла к двум уравнениям, которые, однако, остались взаимосвязанными. Для получения отдельных уравнений для Ф и А можно воспользоваться свободой в определении потенциалов. Так как индукция В связана с А формулой (6.29), то векторйый потенциал определен лишь с точностью до аддитивной векторной функции, являющейся градиентом произвольной скалярной функции . Магнитное поле В не меняется при преобразовании

Чтобы при этом осталось неизменным также и электрическое поле (6.31), следует одновременно преобразовать и скалярный потенциал

Соотношения (6.34) и (6.35) позволяют, в частности, выбрать такую систему потенциалов , чтобы выполнялось равенство

При этом уравнения (6.32) и (6.33) сводятся к двум отдельным неоднородным волновым уравнениям для Ф и А

Уравнения (6.37) и (6.38) в совокупности с (6.36) образуют систему уравнений, полностью эквивалентную уравнениям Максвелла.