Глава 3. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ II

В этой главе мы продолжим рассмотрение граничных задач электростатики. Сначала обсудим задачи со сферической и цилиндрической симметриями и представим решение уравнения Лапласа в виде разложений по соответствующим ортонормированным функциям. Мы лишь кратко остановимся на методах решения различных обыкновенных уравнений, получающихся при разделении переменных в уравнении Лапласа, однако дадим достаточно полное описание свойств получающихся функций.

Проблема представления функции Грина в виде разложения в ряд по ортонормированным функциям, естественно, возникает при попытке решить уравнение Пуассона с учетом граничных условий. Ниже будет приведено несколько примеров нахождения разложения функции Грина и его применения в различных задачах. В частности, будет рассмотрен вопрос об эквивалентности различных методов решения задач электростатики.

§ 1. Уравнение Лапласа в сферических координатах

В сферических координатах (фиг. 3.1) уравнение Лапласа принимает вид

Представим потенциал в виде произведения, т. е. положим

Подставляя (3.2) в (3.1), получаем

или, после умножения на

От зависит здесь только последнее слагаемое.

Фиг. 3.1.

Очевидно, это слагаемое должно быть постоянным; обозначая постоянную через мы придем к дифференциальному уравнению

решение которого имеет вид

Для того чтобы функция Q была однозначной, величина должна быть целой. Аналогично можно получить отдельные уравнения для :

где — другая действительная постоянная разделения.

Из вида уравнения для радиальной функции ясно, что его решением является простая степенная функция от (а не ряд по ). Решение имеет вид

где пока не определено.