§ 7. Потери мощности в резонаторе. Добротность резонатора

В предыдущем параграфе мы показали, что резонаторы имеют дискретные резонансные частоты колебаний, которым соответствуют определенные конфигурации полей. Это означает, что каким бы способом мы ни пытались возбудить колебания данного типа, никаких полей правильной формы не возникнет до тех пор, пока частота возбуждения не будет в точности равна резонансной частоте. В действительности резонансная кривая не имеет вида -функции, а вокруг резонансной частоты имеется некоторый весьма узкий интервал частот, внутри которого возможно заметное возбуждение резонатора. Наиболее существенной причиной расплывания резонансного

пика являются потери энергии в стенках резонатора, а также в заполняющем его диэлектрике. Мерой остроты резонанса по отношению к внешнему возбуждению является добротность резонатора Q, определяемая как отношение средней энергии, запасенной в резонаторе, к энергии, теряемой за период колебаний:

здесь — резонансная частота при отсутствии потерь. Согласно закону сохранения энергии, мощность омических потерь равна взятой с обратным знаком производной по времени от запасенной энергии U. Поэтому формулу (8.82) можно записать в виде уравнения для

Запасенная в начальный момент энергия экспоненциально убывает со скоростью, обратно пропорциональной Q. Временная зависимость (8.83) означает, что колебания поля в резонаторе затухают по закону

Такого рода затухающие колебания имеют не одну частоту, а представляют собой суперпозицию частот, расположенных в окрестности Таким образом,

Интегрирование в (8.85) производится элементарно и приводит к частотному распределению энергии в резонаторе, имеющему вид лоренцовского пика:

В (8.86) мы перешли от угловых частот к линейным в соответствии с определением Q. У резонансного пика (8.86), изображенного на фиг. 8.8, полная ширина

на высоте, равной половине максимальной (которую, к сожалению часто называют «полушириной»), составляет При постоянном возбуждающем напряжении энергия колебаний в резонаторе в зависимости от частоты будет изменяться в окрестности резонансной частоты, следуя резонансной кривой.

Фиг. 8.8. Резонансный пик. Полная ширина на половине максимума (по мощности) равна отношению центральной частоты к добротности резонатора

Если — разность частот, соответствующих точкам половинной мощности, то добротность резонатора равна

Величина Q для микроволновых резонаторов обычно имеет порядок сотен или тысяч.

Для определения добротности необходимо рассчитать среднюю по времени энергию, накопленную в резонаторе, а затем найти мощность, поглощаемую в стенках. Вычисления аналогичны проведенным в § 5 при расчете затухания в волноводах. Мы ограничимся здесь рассмотрением цилиндрического резонатора, описанного в § 6. Энергия, запасенная в резонаторе для возбуждения колебания -типа в соответствии с (8.67) — (8.70), равна

где верхняя строчка относится к а нижняя — к ТЕ-типу колебаний. Для ТМ-типа при следует еще ввести множитель 2.

Мощность потерь можно рассчитать по несколько измененной формуле (8.58)

Для ТМ-типов колебаний с легко показать, что

здесь — то же самое безразмерное число, что и в (8.62), С — длина контура поперечного сечения резонатора, площадь этого сечения. Для величину следует заменить на . Подставляя (8.88) и (8.89) в выражение (8.82) и используя определение (7.85) толщины скин-слоя, найдем добротность резонатора

где — магнитная проницаемость металлических стенок резонатора. Для следует в (8.91) умножить правую часть на 2, а заменить на 2. Выражению для Q можно дать простую физическую интерпретацию, если записать его в виде

где G — некоторый геометрический множитель, V — объем резонансной полости, площадь его поверхности. Отвлекаясь от геометрического множителя, мы видим, что добротность Q равна отношению объема, занятого полем, к объему проводника, в который поле проникает вследствие конечной проводимости. Для ТМ-колебаний в цилиндрическом резонаторе геометрический множитель имеет вид

для

для Для ТЕ-колебаний в цилиндрическом резонаторе геометрический множитель несколько более сложен, но имеет такой же

порядок величины. Для -типа в круглом цилиндрическом резонаторе, поле в котором описывается выражением верно для всех ТМ-типов), так что геометрический множитель равен и

Для -типа геометрический множительх), как показывают вычисления, имеет следующий вид:

и соответственно

Соотношение (8.92) для Q применимо не только к цилиндрическим резонаторам, но и к резонаторам произвольной формы, причем множитель G обычно имеет величину порядка