§ 1. Передача энергии при кулоновских соударениях

Пусть быстрая частица с зарядом и массой М взаимодействует с атомным электроном. Если скорость частицы велика по сравнению с характерной скоростью движения электрона на орбите, то в течение «времени взаимодействия» электрон можно рассматривать как свободный и покоившийся перед соударением.

Фиг. 13.1.

Примем далее, что передаваемый импульс достаточно мал, налетающая частица практически не отклоняется от прямолинейной траектории и электрон отдачи не получает заметного смещения за время соударения. Тогда для нахождения потерь энергии при соударении необходимо лишь вычислить передачу импульса, обусловленную действием электрического поля налетающей частицы в точке расположения

электрона. Влияние магнитного поля частицы пренебрежимо мало, поскольку мы предполагаем, что электрон можно считать покоящимся.

На фиг. 13.1 изображена схема соударения. Скорость налетающей частицы v, а ее энергия . Частица пролетает мимо электрона с зарядом и массой значение прицельного параметра равно b. Поле налетающей частицы в точке расположения электрона определяется соотношениями (11.118), где Интеграл по времени, очевидно, отличен от нуля лишь для поперечного электрического поля ЕА. Следовательно, приобретаемый электроном импульс имеет лишь поперечную составляющую, равную

Следует заметить, что не зависит от у, как уже отмечалось в гл. 11, § 10. Переданная электрону энергия равна

Угловое отклонение налетающей частицы при определяется равенством Таким образом, для малых отклонений

Этот результат можно сравнить с известной точной формулой для резерфордовского рассеяния нерелятивистской частицы с зарядом в кулоновском поле заряда

Оба выражения, очевидно, согласуются в случае малых углов.

Выражение (13.2) для переданной энергии обладает рядом интересных особенностей. Оно содержит лишь заряд и скорость налетающей частицы; масса налетающей частицы сюда не

входит. Передаваемая энергия обратно пропорциональна квадрату прицельного параметра и, следовательно, очень сильно возрастает для близких соударений. Конечно, существует верхний предел величины передаваемой энергии, соответствующий лобовым соударениям. Наш метод вычислений справедлив лишь для больших значений b. Приравнивая (13.2) максимально возможной величине передаваемой энергии (12.59), можно получить нижнее предельное значение прицельного параметра , при котором наше приближенное рассмотрение еще справедливо:

Отсюда находим нижнюю границу для

при значениях b порядка или меньших следует заменить наш приближенный результат (13.2) более точным выражением, которое стремилось бы к (13.5) в предельном случае Как можно показать (см. задачу 13.1), соответствующее рассмотрение приводит к следующему более точному результату:

Выражение (13.7) ведет себя требуемым образом в предельном случае и переходит в (13.2) при .

Нижнюю границу для величины b можно получить также и иным способом. При выводе выражения (13.2) предполагалось, что электрон не смещается заметно в течение времени взаимодействия. Можно ожидать, что выражение (13.2) будет справедливым до тех пор, пока действительное смещение электрона d мало по сравнению с b. Величину d можно оценить, приняв, что средняя скорость электрона при соударении равна и вычисляя время взаимодействия с помощью (11.120). В результате получим следующую оценку по порядку величины для смещения электрона за время взаимодействия

До тех пор пока выражение (13.2) остается справедливым. Это же условие вытекает из соотношения (13.7).

В другом предельном случае очень дальних соударений приближенный результат (13.2) для становится неверным, поскольку фактически в атомах электроны связаны, тогда как мы их считали свободными. Если время взаимодействия (11.120) мало по сравнению с периодом орбитального движения, то естественно

ожидать, что для таких кратковременных соударений электроны можно рассматривать как свободные. В противоположном предельном случае, когда время соударения (11.120) очень велико по сравнению с периодом орбитального движения, электрон успеет совершить много оборотов по орбите за время прохождения налетающей частицы мимо него и действие поля частицы выразится в адиабатическом изменении этого движения без результирующей передачи энергии. Границе между указанными предельными случаями соответствует значение прицельного параметра Для которого время соударения (11.120) сравнимо с периодом орбитального движения. Если со — характерная частота движения электрона в атоме, то указанное условие имеет вид

При значениях прицельного параметра, превышающих можно ожидать уменьшения передачи энергии по сравнению с величиной, определяемой соотношением (13.2), и быстрого убывания ее до нуля при .

Качественный характер зависимости от b показан на фиг. 13.2. Пунктирная кривая соответствует приближенной формуле (13.2), а сплошная кривая представляет точный результат. В интервале передаваемая энергия может быть приближенно определена по соотношению (13.2). Для значений прицельного параметра, лежащих вне этого интервала, передаваемая энергия значительно ниже получаемой по приближенной оценке.

При движении в материальной среде быстрая частица ствует» электроны, расположенные на различных расстояниях от ее траектории. Если число атомов в единице объема равно N, а число электронов в атоме Z, то в слое вещества толщиной число электронов, для которых прицельный параметр лежит между b и равно

    (13.10)

Для определения потерь энергии частицы на единице длины нужно Число частиц (13.10) умножить на передаваемую энергию и проинтегрировать по всем значениям прицельного параметра. Таким образом, полная потеря энергии равна

Учитывая поведение функции показанное на фиг. 13.2, можно использовать в (13.11) приближенное представление (13.2) и проинтегрировать от до В результате получим

    (13.12)

или

    (13.13)

где

Это приближенное выражение для потерь энергии отражает все существенные особенности классического результата, принадлежащего Бору (1915 г.).

Фиг. 13.2. Зависимость передаваемой энергии от прицельного параметра.

Метод выбора нижнего предела интегрирования в (13.12) полностью эквивалентен использованию выражения (13.7) для Обрезание при является довольно

произвольным. Поэтому величина В определена лишь с точностью до множителя порядка единицы. Поскольку В входит в аргумент логарифма, эта неточность весьма мало существенна. Тем не менее в § 2 мы исследуем влияние связей. Анализ формулы (13.13) и, в частности, характера зависимости потерь от энергии и сравнение ее с результатами эксперимента мы отложим до § 3 этой главы.