§ 8. Ширина линии и сдвиг уровня для осциллятора

Реакция излучения существенно влияет на характеристики атомных систем. Хотя полный анализ требует разработки довольно сложного формализма квантовой электродинамики, качественные характеристики видны уже из классического рассмотрения. В качестве типичного примера рассмотрим заряженную частицу, удерживаемую одномерной линейной восстанавливающей силой с коэффициентом упругости . В отсутствие радиационного затухания частица совершает колебания с постоянной амплитудой и частотой Наличие реакции излучения приводит к постепенному затуханию амплитуды колебаний, так как энергия движения преобразуется в энергию излучения.

Если обозначить смещение заряженной частицы от положения равновесия через , то уравнение движения (17.51) для рассматриваемой задачи запишется в виде

    (17.54)

Так как при решение имеет вид естественно искать решение в виде

    (17.55)

На основании физических соображений можно ожидать, что мнимая часть а будет близка к по крайней мере при , но что а имеет также положительную действительную часть, описывающую затухание, обусловленное излучением. Подставляя (17.55) в (17.54), получаем кубическое уравнение для а

    (17.56)

Это уравнение имеет три корня: два комплексно сопряженных и один действительный. Действительный корень всегда отрицателен и должен быть отброшен [он соответствует «самоускоряющемуся» решению уравнения (17.9)]. Оба корня, соответствующие физически реализуемым процессам, могут быть представлены в замкнутом виде при произвольных однако окончательная формула довольно сложна и пригодна лишь для численных расчетов. Нас интересует область параметров, для которой При этом легко убедиться непосредственно из уравнения (17.56), что с точностью до членов порядка включительно а определяется соотношением

    (17.57)

где

Величину Г называют обычно постоянной затухания, а — сдвигом уровня.

Вследствие радиационного затухания энергия осциллятора экспоненциально убывает как Это означает, что излучение испускается в виде цугов волн с эффективной длиной порядка Такие импульсы излучения конечной протяженности не являются уже строго монохроматическими, а характеризуются спектром частот, занимающим интервал порядка . Точный вид спектрального распределения определяется квадратом фурье-амплитуды электрического поля или ускорения. Если пренебречь начальным процессом установления (имеющим длительность ), то спектральная амплитуда пропорциональна величине

Отсюда для энергии, излучаемой в единичном интервале частот, получим

    (17.58)

где — полная излученная энергия. Такое спектральное распределение называют иногда лоренцовой формой линии. Ширину распределения на уровне половинной интенсивности, равную Г, принято называть шириной линии (иногда применяют неудачное название «полуширина»). Такая спектральная линия изображена на фиг. 17.2.

Фиг. 17.2. Уширение и сдвиг спектральной линии, обусловленные реакцией излучения. Г — ширина лоренцовой спектральной линии; — сдвиг уровня.

Наличие реакции излучения обусловливает уширение линии и сдвиг ее по частоте.

Классическая ширина линии для электронного осциллятора, выраженная в длинах волн, является универсальной постоянной

При квантовомеханическом рассмотрении [естественная ширина спектральной линии оказывается различной. Иногда для установления связи с классическим рассмотрением ширину линии в квантовой механике записывают в виде

где — «сила осциллятора» для перехода Величина силы осциллятора может существенно меняться от значений, близких к единице для сильных одноэлектронных переходов, до гораздо меньших значений в других случаях.

В классической теории сдвиг уровня А со пропорционален ширине линии Г с малым коэффициентом и таким образом гораздо

меньше ширины. В квантовомеханическом рассмотрении (и на опыте) это не так. Расхождение объясняется тем, что механизм сдвига уровня в квантовой и классической теории различен, хотя по-прежнему определяется электромагнитным полем. Для квантованного поля излучения даже в отсутствие фотонов среднее значение квадратов напряженностей векторов электромагнитного поля отлично от нуля (флуктуации вакуума). Действие этих флуктуирующих полей (наряду с флуктуациями электрон-позитронного поля) на заряженную частицу и обусловливает сдвиг ее энергетического уровня. Квантовомеханическое рассмотрение приводит к следующей оценке для сдвига уровня осциллятора:

тогда как для классического сдвига уровня, обусловленного испусканием излучения, имеем

Очевидно, квантовомеханический сдвиг уровня по величине сравним с шириной линии или даже превышает ее. Впервые малый сдвиг энергетических уровней атома, обусловленный излучением, наблюдался в 1947 г. Лэмбом [62] и был назван поэтому лэмбовским сдвигом. Квантовотеоретическое рассмотрение этого вопроса, требующее знания лишь основ квантовой теории поля, приведено в книге Вайскопфа [115].