§ 6. Ковариантное определение собственной электромагнитной энергии и импульса заряженной частицы

В предыдущем рассмотрении имеется один странный момент. Классическая электродинамика является релятивистски ковариантной теорией. Поэтому правомерно ожидать, что при правильном вычислении любой величины требования инвариантности относительно преобразований Лоренца не будут нарушаться. Тем не менее в модели Абрагама — Лоренца — Пуанкаре, по-видимому, имеется такое нарушение. Нековариантная электромагнитная часть собственной энергии и импульса заряженной частицы уравновешивается в этой модели нековариантной частью, обусловленной натяжениями Пуанкаре, так что результат остается релятивистски ковариантным.

Можно, конечно, сказать, как и было сделано в § 5, что поскольку для обеспечения стабильной конфигурации ограниченного распределения заряда необходимы удерживающие силы неэлектромагнитного характера и соответствующие собственные поля, то лишь полные силы и натяжения имеют физический смысл. Тем не менее вполне законен вопрос, можно ли так определить чисто электромагнитную часть собственной энергии и импульса частицы, чтобы юна была релятивистски ковариантной. Такое определение имело бы не только эстетическую ценность, но отделило бы, по крайней мере формально, вопрос об устойчивости от вопроса об инвариантности относительно преобразований Лоренца.

Задача определения -вектора энергии-импульса собственного электромагнитного поля весьма проста. Следует лишь образовать -вектор, сводящийся к собственной электростатической энергии частицы (17.36) в системе координат, относительно которой она покоится. Очевидно, что для получения -вектора следует

скалярно умножить тензор Т на некоторый 4-вектор . Умножая произведение на инвариантный элемент объема и интегрируя, получаем требуемое ковариантное обобщение выражения (17.36)

    (17.43)

где представляет собой -вектор с составляющими ) в собственной системе отсчета. С помощью преобразований Лоренца (11.75) легко найти выражение для в общем случае

    (17.44)

В развернутом виде собственная энергия и импульс, выраженные через плотность энергии и импульса и тензор натяжений Максвелла, запишутся так:

    (17.45)

Полученные выражения отличаются от соотношений Абрагама — Лоренца (17.35) множителями и дополнительными слагаемыми

Физический смысл полученных ковариантных определений Ее и можно установить следующим образом. Рассмотрим, например, собственную энергию. Можно сказать, что величина, которую следует отождествлять с собственной электромагнитной энергией движущегося ограниченного распределения заряда, не равна полной энергии поля, а отличается от нее на работу, совершенную электромагнитными силами (натяжениями Максвелла), которые в конечном счете компенсируются некоторыми силами неэлектромагнитного типа. В собственной системе отсчета частицы эти силы не производят работы. В результате собственная энергия и определяется формулой Абрагама — Лоренца (17.36). В движущейся же системе отсчета работа, производимая этими силами в единицу времени, равна

(несущественный для наших рассуждений множитель у опускаем). Интеграл по времени от этой величины дает как раз слагаемое, вычитаемое из полной энергии электромагнитного поля в (17.45). Совершенно аналогично слагаемое, содержащее натяжения Максвелла в выражении для импульса (17.45), представляет собой взятую с обратным знаком часть импульса, обусловленную переносом чисто электромагнитных натяжений.

Так как выражение для энергии-импульса (17.45) по самому построению представляет собой -вектор, нет необходимости в проверке этого факта. Тем не менее интересно, что коэффициент 4/3 в выражении для импульса исчезает. В нерелятивистском предельном случае выражение для собственного магнитного поля имеет вид

    (17.46)

При этом первое слагаемое в выражении для импульса (17.45) оказывается равным

или

    (17.47)

Это — выражение для импульса в модели Абрагама—Лоренца. При сферической симметрии поля второе слагаемое можно усреднить по углам. Усредненное слагаемое равно 1/3 от величины первого члена, так что в результате получаем значение как уже было показано ранее [см. соображения, приведенные после соотношений (17.37)].

Второе слагаемое в выражении для импульса равно

    (17.48)

Если даже не предполагать сферической симметрии для суммарной величины импульса, то, согласно (17.47) и (17.48), получим

    (17.49)

как и следовало ожидать на основании лоренц-ковариантности.

При помощи модифицированных определений (17.45) можно с формальной точки зрения получить заведомо ковариантные выражения для энергии и импульса собственного электромагнитного поля, не рассматривая силы иного типа и вопросы устойчивости. Однако, как мы видели, эти ковариантные выражения получаются, если опустить работу и импульс, обусловленные электромагнитными силами, которые в конечном счете компенсируются силами притяжения неэлектромагнитного характера, необходимыми для устойчивости. Поэтому, по крайней мере для классического протяженного распределения заряда, мы можем либо считать вполне удовлетворительным подход Пуанкаре, либо же требовать, чтобы различные части собственной энергии и импульса были определены порознь ковариантным образом; выбор здесь является делом вкуса.

Внешне отличающееся, но весьма близкое решение вопроса о потере ковариантности, приводящей к появлению коэффициента 4/3 в уравнении движения Абрагама — Лоренца (17.33), было найдено Ферми [41] в 1922 г. Ферми показал, что использование ковариантной формулировки принципа Гамильтона приводитк требуемой модификации выражения для силы самодействия (17.20), в результате чего коэффициент 4/3 заменяется на единицу. Рассмотрение, в некоторых отношениях сходное с проведенным нами, была предложено также Вильсоном [119].