§ 8. Дифракция на круглом отверстии

Начиная с основополагающих работ Кирхгофа, теория дифракции интенсивно развивалась как в оптике, где обычно достаточно ограничиться скалярной теорией, основанной на выражении (9.65), так и в применении к микроволновому излучению, где необходимо более строгое рассмотрение. Целый ряд монографий посвящен исключительно вопросам дифракции и рассеяния волн. Мы рассмотрим здесь несколько примеров, иллюстрирующих применение скалярной и векторной теорем (9.65) и (9.82), и сравним точность различных приближенных методов расчета.

Дифракционные явления принято разделять на дифракцию Френеля и дифракцию Фраунгофера в зависимости от расстояния точки наблюдения от дифракционной системы. Обычно дифракционная система (например, отверстие в непрозрачном экране) имеет размеры, сравнимые с длиной волны или превышающие ее. При этом точка наблюдения может находиться в близкой зоне, т. е. на расстоянии меньше длины волны от дифракционной системы. Поля в ближней

зоне имеют весьма сложную структуру и не представляют особого интереса. Точки, находящиеся на таком расстоянии от дифракционной системы, которое во много раз больше длины волны, но все же меньше или порядка собственных размеров системы, считаются находящимися во френелевской зоне. Область, же, расположенная на расстоянии, которое велико как по сравнению с размерами дифракционной системы, так и по сравнению с длиной волны, называется фраунгоферовой зоной.

Фиг. 9.9.

Она соответствует волновой зоне, определенной в § 1 этой главы. Дифракционные картины в зонах Френеля и Фраунгофера существенно различаются, поскольку в дифракции Френеля наибольшую роль играют участки дифракционной системы, ближайшие к точке наблюдения, в то время как в дифракцию Фраунгофера вносит свой вклад вся система в целом. Мы будем рассматривать только фраунгоферову дифракцию; примеры дифракции Френеля будут даны в задачах в конце главы.

Если точка наблюдения находится далеко от дифракционной системы, то мы можем воспользоваться разложением (9.6) для Сохраняя только члены низшего порядка по представим скалярный интеграл Кирхгофа (9.65) в виде

где x — координата элемента поверхности ; — длина вектора соединяющего начало координат О с точкой наблюдения волновой вектор, направленный в точку наблюдения (фиг. 9.9). Для плоской поверхности векторное выражение (9.82) в этом приближении принимает вид

Рассмотрим в качестве примера дифракцию плоской волны, падающей под углом а на тонкий идеально проводящий экран с круглым отверстием радиусом а. Пусть вектор поляризации падающей волны лежит в плоскости падения. Используемая система координат показана на фиг. 9.10. Экран расположен в плоскости а центр отверстия находится в начале координат. Волна падает снизу, так что области дифракционных полей соответствует

Фиг. 9.10. Дифракция на круглом отверстии радиусом а.

Плоскость падения мы выберем в качестве плоскости Электрическое поле падающей волны представляется в явном виде в декартовых составляющих следующим образом:

При расчете дифракционных полей с помощью (9.95) или (9.96) мы примем обычное предположение о том, что точное поле в поверхностном интеграле можно заменить падающим полем. Для расчета с помощью векторного соотношения (9.96) нужно знать величину

Вводя полярные координаты для интегрирования по отверстию, получаем

где угловые координаты вектора к. Если ввести угловую функцию

    (9.100)

то интеграл по углам запишется в виде

    (9.101)

После этого интеграл по радиусу легко вычисляется. В результате получим электрическое поле в векторном приближении Кирхгофа

    (9.102)

Средняя мощность, излучаемая в единичный телесный угол, равна

где величина

    (9.104)

представляет собой полную мощность, падающую на отверстие. Если отверстие велико по сравнению с длиной волны , то множитель имеет острый максимум при равный единице, и быстро падает до нуля (с маленькими вторичными максимумами) в области в обе стороны от направления Это значит, что поле в основном проходит через отверстие в соответствии с законами геометрической оптики; дифракционные эффекты очень слабы. При бесселева функция сравнительно медленно меняется с углом, и проходящая волна распространяется в направлениях, весьма отличных от направления падения. При угловое распределение полностью определяется множителем (к ) в (9.102). Но в этом предельном случае замена истинного поля в отверстии невозмущенным является слишком грубым приближением.

Полная проходящая мощность получается интегрированием выражения (9.103) по всем углам в верхней полусфере. Отношение проходящей мощности к падающей называется коэффициентом прохождения

    (9.105)

В предельных случаях коэффициенты прохождения стремятся к значениям

    (9-106)

Предельное значение для случая длинных волн в силу сделанных допущений представляется сомнительным, но во всяком случае из него следует, что коэффициент прохождения для малых отверстий весьма мал. Для случая нормального падения коэффициент прохождения (9.105) можно записать в виде

    (9.107)

С помощью интегральных соотношений

и рекуррентных формул (3.87) и (3.88) коэффициент прохождения можно представить в следующих эквивалентных формах:

    (9.109)

При увеличении коэффициент прохождения в среднем возрастает с небольшими колебаниями. При из второго выражения (9.109) можно получить асимптотическое выражение

    (9.110)

из которого явно видны малые колебания Т. Приближенные выражения (9.109) и (9.110) для коэффициента прохождения характеризуют его общее поведение в зависимости от однако они не могут претендовать на достаточную точность. Для круглого отверстия был произведен точный расчет, а также развиты более аккуратные приближенные методы. Их сравнение друг с другом проведено

в книге Кинга и У Тайцзуня [59]. Корректное асимптотическое разложение для коэффициента прохождения не содержит члена а коэффициент перед в 2 раза больше.

Сравним теперь наши результаты для векторного приближения Кирхгофа с обычной скалярной теорией, основанной на выражении (9.95). Для волны, которая падает не по нормали к экрану, сразу возникает вопрос о том, с чем следует отождествить скалярную функцию Наиболее разумно, по-видимому, выбрать в качестве величину электрического или магнитного поля. При этом интенсивность излучения будет пропорциональной квадрату абсолютной величины (9.95). Выбрав в качестве составляющую Е или В, мы должны дальше решить, будем ли мы сохранять или отбрасывать радиальные составляющие дифрагированных полей при расчете мощности. Полагая функцию равной величине электрического поля Е и вычисляя интеграл в (9.95), получаем скалярный эквивалент соотношения (9.102):

    (9.111)

Мощность, излучаемая в единицу телесного угла, равна в скалярном приближении Кирхгофа

где определяется выражением (9.104).

Сравнение результатов векторного приближения Кирхгофа (9.103) с (9.112) обнаруживает как сходство, так и различие между ними. Обе формулы содержат одинаковый дифракционный множитель и дают одинаковую зависимость от волнового числа. Однако скалярное выражение в отличие от векторного не имеет азимутальной зависимости (кроме содержащейся в ). Азимутальное изменение обусловлено поляризацией поля и поэтому в скалярном приближении отсутствует. Для нормального падения и больших отверстий поляризационная зависимость становится несущественной. В этом случае дифрагированные поля сосредоточены в очень малом телесном угле вокруг направления падения и как скалярное, так и векторное приближения приводят к общему выражению

На фиг. 9.11 векторное и скалярное приближения Кирхгофа сравниваются для угла падения 45° и диаметра отверстия, равного длине волны Показано угловое распределение мощности излучения в плоскости падения (содержащей вектор электрического

поля падающей волны) и в перпендикулярной плоскости. Сплошная кривая дает векторное приближение для каждого случая, пунктирная — скалярное; из кривых видно, что при между этими двумя приближениями имеется значительное различие.

Фиг. 9.11. Дифракция Фраунгофера на круглом отверстии диаметром в одну длину волны в тонком плоском проводящем экране. Плоская волна падает на экран под углом 45°. Сплошные линии соответствуют векторному приближению Кирхгофа, пунктирные — скалярному приближению. а — распределение интенсивности в плоскости падения (Е — плоскость); — распределение интенсивности (увеличенное в 2,5 раза) в плоскости, перпендикулярной плоскости падения (В — плоскость).

Есть основания считать, что результаты векторного приближения Кирхгофа близки к точным, несмотря на то что при приближение уже становится некорректным. Векторное приближение для прямоугольного отверстия удивительно хорошо согласуется с точным расчетом вплоть до