ЗАДАЧИ

17.1. Нерелятивистская частица с зарядом и массой удерживается линейной изотропной восстанавливающей силой с коэффициентом упругости .

С помощью уравнений (17.13) и (17.16) показать, что энергия и момент количества движения частицы экспоненциально убывают как от их начального значения, где

17.2. Нерелятивистский электрон с зарядом и массой , удерживав» кулоновским потенциалом притяжения движется при отсутствии реакции излучения по круговой орбите.

а) Показать, что уравнения изменения энергии (17.13) и момента количества движения (17.16) приводят к следующему закону медленного

изменения радиуса орбиты:

где значение при

б) Для круговых орбит в атоме Бора радиусы и главные квантовые числа связаны соотношением Определив вероятность переходов как — показать, что полученный в п. результат согласуется с решением задачи 14.9.

в) На основании решения, приведенного в п. «а», получить численные оценки времени перехода -мезонов с массой с круговой орбиты, характеризуемой главным квантовым числом на орбиты с Полученные величины дают разумную оценку для времени перехода [А-мезонов на низшую орбиту после захвата их изолированным атомом.

17.3. Электрон с энергией связи и моментом количества движения L движется в кулоновском поле притяжения по эллиптической орбите

причем эксцентриситет эллипса равен квадратному корню перед косинусом.

а) Производя соответствующие усреднения по времени для мгновенной орбиты, показать, что медленные изменения энергии и момента количества движения определяются уравнениями

б) Показать, что при начальных значениях ей L, равных

Вычислить эксцентриситет эллипса и убедиться, что он убывает пропорционально и, таким образом, форма орбиты стремится с течением времени к круговой.

в) Сравнить полученные результаты с решением для частного случая круговой орбиты в задаче 17.2.

Указание. При усреднении по времени воспользоваться законом равных площадей Кеплера для преобразования интегралов по времени в интегралы по углу.

17.4. Согласно теории Дирака (1938 г.), релятивистское уравнение движения классического точечного электрона имеет вид

где представляет собой -импульс частицы, — ее собственное время, ковариантное обобщение силы реакции излучения (17.8).

Учитывая требование, что любая сила должна удовлетворять соотношению показать, что

17.5. а) Показать, что для одномерного релятивистского движения уравнение движения, приведенное в задаче 17.4, может быть представлено в виде

где — импульс частицы в направлении движения, точка означает дифференцирование по собственному времени, -обычная сила Ньютона, зависящая от собственного времени.

б) Показать, что с помощью подстановки релятивистское уравнение приводится к уравнению Абрагама—Лоренца (17.9) для . Получить общее решение для с начальными условиями

17.6. Нерелятивистская частица с зарядом и массой ускоряется постоянным электрическим полем в зазоре длиной d.. Идеализируя, будем считать, что частица совершает одномерное движение под действием внешней силы отличной от нуля лишь на интервале (0, d). Если не учитывать радиационного затухания, то частица с начальной скоростью будет равномерно ускоряться в течение времени и выйдет из зазора (при ) с конечной скоростью

При учете радиационного затухания параметры движения изменяются: частица пролетает зазор за время Т и выходит из него со скоростью

а) Решить интегро-дифференциальное уравнение движения частицы, учитывающее влияние излучения, считая, что Г и Г много больше . Начертить графики зависимости скорости от времени с учетом и без учета радиационного затухания.

б) Показать, что с учетом лишь низших членов разложения по

в) Убедиться, что сумма излученной энергии и изменения кинетической энергии частицы равна работе, совершаемой приложенным полем.

17.7. В классической модели, описывающей уширение спектральных линий из-за соударений, принимается, что в результате соударения колебания осциллятора прекращаются и, следовательно, после некоторого времени колебаний Т когерентный волновой обрывается.

а) Считая, что вероятность соударения в интервале времени для осциллятора, рассмотренного в § 8, определяется законом где v — средняя частота соударений, показать, что усредненное спектральное распределение интенсивности имеет вид

так что ширина линии равна

б) Для дублета натрия (к 5893 А) сила осциллятора и, таким образом, естественная ширина линии близка к классической величине .

Оценить допплеровское уширение линии, считая, что атомы натрия находятся в термодинамическом равновесии при температуре 500° К, и сравнить результат с естественной шириной. Приняв для сечения соударений величину определить зависимость обусловленной соударениями ширины линии дублета натрия от давления паров натрия. При каком давлении уширение линии из-за соударений совпадает с естественной шириной и при каком — с допплеровской шириной?

17.8. Частица колеблется под действием приложенного электрического поля Дипольный момент этого осциллятора

а) Показать, что сечение поглощения для диполя может быть записано в виде

б) Используя лишь то обстоятельство, что все нормальные типы колебаний должны обладать некоторым затуханием и что поляризуемость а на высоких частотах должна стремиться к величине соответствующей свободным частицам, показать, что сечение поглощения удовлетворяет следующему правилу дипольных сумм: