§ 8. Теорема Пойнтинга
Для теории электромагнитных полей важное значение имеет формулировка законов сохранения энергии и импульса. Мы начнем с рассмотрения закона сохранения энергии, который часто называют теоремой Пойнтинга (1884 г.). Работа, совершаемая электромагнитным полем Е, В в единицу времени над отдельным зарядом q, равна 
где v — скорость заряда. Магнитное поле работы не совершает, поскольку магнитная сйла перпендикулярна скорости. При непрерывном распределении зарядов и токов полная работа, совершаемая полем в объеме V в единицу времени., равна
Это выражение определяет скорость превращения электромагнитной энергии в механическую или тепловую. Очевидно, с такой же скоростью уменьшается энергия электромагнитного поля
внутри объема V. Чтобы найти этот закон сохранения в явном виде, преобразуем выражение (6.77) с помощью уравнений Максвелла. Для исключения J воспользуемся законом Ампера — Максвелла:
Учитывая векторное тождество
и закон Фарадея, преобразуем правую часть (6.78) к виду
Для дальнейшего необходимо сделать два допущения. Первое из них не имеет существенного значения и делается только для простоты. Будем предполагать, что макроскопическая среда обладает линейными электрическими и магнитными свойствами. Тогда два члена в (6.79), содержащие производные по времени, можно в соответствии с (4.92) и (6.16) интерпретировать как производные по времени от плотностей электростатической и магнитной энергий. Теперь мы сделаем второе предположение, а именно будем считать, что сумма выражений (4.92) и (6.16) представляет собой полную электромагнитную энергию также и в случае переменных во времени полей. Если плотность полной энергии поля обозначить через
то (6.79) перепишется в виде
Поскольку объем V произволен, это соотношение можно представить в форме дифференциального закона сохранения, или уравнения непрерывности:
Вектор S, определяющий поток энергии, называется вектором Пойнтинга. Он равен
и имеет размерность энергия/(площадь X время). Так как в законе сохранения фигурирует только дивергенция этого вектора, к вектору Пойнтинга можно прибавить ротор произвольного вектора поля. Однако этот добавочный член не приводит ни к каким физическим
следствиям, и поэтому обычно используется частная форма (6.83).
Физический смысл интегральной или дифференциальной формы законов (6.81) или (6.82) заключается в том, что скорость возрастания электромагнитной энергии внутри некоторого объема в сумме с энергией, вытекающей за единицу времени через поверхность, ограничивающую этот объем, равна взятой со знаком минус полной работе, совершаемой полем над источниками внутри данного объема. Соотношения (6.81) и (6.82) выражают закон сохранения энергии. Если имеются нелинейные эффекты, такие, как гистерезис в ферромагнитных материалах, то простая форма закона сохранения (6.82) неприменима и необходимо добавить соответствующие члены, учитывающие потери на гистерезис.
